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Per problema dei due corpi si intende la descrizione del moto di due corpi puntiformi sotto l'azione delle sole forze di interazione dei due corpi stessi, che si suppongono forze centrali per le quali valga il terzo principio della dinamica.

Indice

Equazioni del motoModifica

Fissato un opportuno sistema di riferimento, indichiamo con   e   le posizioni dei due corpi e con   e   le loro masse. Se il corpo 1 agisce sul corpo 2 con una forza  , per la legge di azione e reazione (terzo principio della dinamica) il corpo 2 agisce su 1 con una forza  : allora le equazioni del moto sono

 
 

da cui si ricava

 

Di conseguenza per il centro di massa vale la seguente equazione:

 

cioè il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme.

Notiamo ora che

 

e che

 

Pertanto si ha

 

Introducendo la coordinata del moto relativo del corpo 2 rispetto al corpo 1:

 

Si ottiene dunque

 

dove   si dice massa ridotta.

Nel caso notevole del moto di due corpi celesti la forza di interazione è data dalla legge di gravitazione universale di Newton

 

L'equazione differenziale del moto è allora

 

L'energiaModifica

L'energia meccanica totale è costante, perché le uniche forze considerate sono conservative. L'energia è uguale alla somma di energia cinetica ed energia potenziale, perciò nel sistema di riferimento iniziale vale

 

Nel sistema di riferimento del centro di massa, usando la formula della forza trovata precedentemente, si può considerare la massa ridotta   come distante r dall'origine del sistema.

Definiamo l'energia cinetica della massa ridotta rispetto al corpo 1 come

 

dove compare la velocità relativa del corpo 2 rispetto al corpo 1 ( ).

Passando in coordinate polari si può scrivere:

 

e perciò

 

L'energia potenziale gravitazionale vale

 

Allora

 

Il momento angolareModifica

Per definizione il momento angolare totale dei due corpi vale, nel sistema iniziale,

 

considerando come polo l'origine del sistema. Nel sistema di riferimento del centro di massa

 .

Poiché le uniche forze agenti sono interne al sistema dei due corpi, il momento delle forze esterne è nullo e quindi il momento angolare si conserva. Come si vede dall'ultima relazione, se la distanza relativa aumenta la velocità angolare deve diminuire (  è costante) e viceversa.

Inoltre, del momento angolare non si conserva solo il modulo, ma anche la direzione: poiché essa è sempre perpendicolare al piano del moto (per definizione di momento angolare), ne consegue che tale piano non cambia nel tempo. Quindi possiamo concludere che il moto è piano.

Il potenziale efficaceModifica

Ricordando i risultati ottenuti,

 

ovvero

 

È evidente che il primo termine della somma non dipende solo dalla distanza relativa, ma non può essere minore di zero. Nella seconda parte della somma compaiono invece due addendi che dipendono solo da   (le altre grandezze sono costanti!). Allora definiamo la funzione potenziale efficace come

 

Si vede facilmente che

 
 
Andamento del potenziale efficace in funzione della distanza

e studiando la derivata si trova un punto di minimo per  . Quindi la nuova funzione ha la forma di una buca di potenziale; è chiaro inoltre che

 

cioè quando la velocità radiale è nulla il potenziale efficace è uguale all'energia. D'altra parte,

 .

Risolviamo quest'ultima equazione in  :

 

cioè

 .

La traiettoriaModifica

Studiamo ora le soluzioni dell'equazione precedente al variare di  . Si hanno quattro casi, corrispondenti alle sezioni coniche:

  La soluzione è nella forma  , quindi è accettabile perché positiva.

Il significato fisico è chiaro: l'energia si mantiene costantemente uguale al potenziale efficace, quindi la velocità radiale   è sempre nulla. La traiettoria è una circonferenza di raggio  .

  con  

Allora ci sono due soluzioni positive, poiché

 

In pratica ci sono due punti in cui  : si tratta della distanza relativa minima e massima (vedi figura). Il corpo 2 non può spingersi oltre tali punti, poiché dovrebbe avere energia cinetica negativa. Allora si può concludere che la traiettoria è chiusa ed ha forma di ellisse con fuoco corrispondente al corpo 1 (prima legge di Keplero).

 

Vi è quindi una sola soluzione, ma bisogna notare che

 

Perciò quando   ,  . Allora la traiettoria si richiude a distanza infinita: si tratta di una parabola.

  con  

Allora solo una soluzione è positiva, poiché  

La traiettoria è aperta, ed ha forma di iperbole. Nel caso particolare  , si tratta di una retta.

Il problema dei due corpi in meccanica quantisticaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Moto in un campo centrale e Atomo di idrogeno.

In meccanica quantistica il problema dei due corpi è basilare nello studio di sistemi composti da due particelle interagenti, come l'atomo di idrogeno, che è una delle applicazioni più note.

L'hamiltoniana che descrive il sistema è composta dai termini cinetici delle due particelle e da un potenziale dipendente dalla distanza tra esse

 

L'analisi delle simmetrie del sistema permette notevoli semplificazioni. Come nel caso classico ci aspettiamo che l'atomo nel complesso, in quanto sistema isolato, si trovi in uno stato di moto stazionario, e di poterci mettere nel sistema di riferimento del centro di massa per poter eludere il moto complessivo concentrandoci su quello relativo. Infatti notiamo che il potenziale è invariante per traslazioni in quanto

 

Questo coincide con il fatto che l'impulso totale P è una costante del moto

 

Cerchiamo allora un cambio di variabili che sia una trasformazione canonica, che conservi quindi le regole di commutazione, e che evidenzi la simmetria. Due delle nuove variabili si riconoscono nel generatore della simmetria P e nella quantità invariante q che compare nel potenziale. Restano da individuare le variabili coniugate Q e p tali che

 
 

Otteniamo quindi

 
 

e la Hamiltoniana si riscrive, introducendo la massa totale M e la massa ridotta  

 

In questo modo abbiamo diviso H in due termini espressi in variabili diverse che commutano tra loro. Il problema si può quindi studiare separatamente e le soluzioni saranno della forma

 
 

La Hamiltoniana del centro di massa è banale, le sue soluzioni sono le onde piane. La parte interessante del problema è invece l'Hamiltoniana relativa.

 

Notiamo che il potenziale non dipende dagli angoli, quindi è invariante per rotazioni. Infatti H, composto da termini scalari, commuta con il momento angolare L che è il generatore delle rotazioni.

 

Ricordando che la variabile coniugata di L è l'angolo φ che compare nelle coordinate sferiche possiamo riscrivere H, procedendo come sopra, nella forma

 

dove compare l'impulso radiale

 

Tutte le informazioni sulla parte radiale sono quindi contenute nel momento angolare L, e poiché questo commuta con H possiamo procedere separatamente all'individuazione delle soluzioni. L'equazione di Schrödinger infatti si riduce a tre equazioni più semplici

 
 
 

La soluzione del problema sarà quindi il prodotto

 

dove n,l,m sono gli autovalori di  

La soluzione radiale si ottiene ricordando la definizione di impulso come derivata rispetto alla posizione coniugata r ed esplicitando il potenziale. Le soluzioni angolari Y, che prendono il nome di armoniche sferiche, non hanno alcuna dipendenza dalla forma radiale del potenziale. Si tratta quindi di soluzioni di carattere generale.

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