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Il problema di Basilea è un famoso problema dell'analisi matematica, proposto per la prima volta da Pietro Mengoli nel 1644 e risolto da Eulero nel 1735. Il problema aveva resistito agli attacchi dei più grandi matematici dell'epoca e quindi la soluzione di Eulero, appena ventottenne, suscitò stupore e ammirazione. Il problema di Basilea chiede di scoprire la forma chiusa, cioè la formula, a cui tende la somma degli inversi di tutti i quadrati dei numeri naturali, cioè la somma esatta della serie infinita:

La serie è approssimativamente uguale a 1,644934. Il problema di Basilea chiede la somma esatta di questa serie nella forma chiusa. Eulero dimostrò che la somma esatta è e annunciò questa scoperta nel 1735. Le sue dimostrazioni erano basate su passaggi non chiariti appieno. Per una dimostrazione rigorosa bisognerà aspettare fino al 1741.

La funzione zeta di RiemannModifica

La funzione zeta di Riemann è   è una delle più importanti della matematica in parte perché è in relazione con la distribuzione dei numeri primi. La funzione è definita per tutti i numeri complessi con parte reale maggiore di 1 dalla formula:

 

Per  ,   è uguale alla somma degli inversi dei quadrati di tutti i numeri naturali.

 

Dato che tutti i suoi termini sono positivi, si dimostra la convergenza di   con la disuguaglianza:

 

Inoltre questa disuguaglianza stabilisce il limite superiore:  .

Si ha una dimostrazione alternativa di convergenza sostituendo in ciascuna frazione con denominatore diverso da potenza di due la frazione con denominatore la potenza di due di valore immediatamente superiore. In questo modo si ottiene una serie che ha somme parziali sempre superiori alla serie data:

 

Si nota facilmente che la nuova serie equivale alla serie degli inversi delle potenze di due:

 

che è convergente essendo una serie geometrica di ragione   (come noto, converge a  ).

Ma se questa serie è convergente, allora lo è anche la serie di partenza in quanto le sue somme parziali sono sempre inferiori.

La dimostrazione di EuleroModifica

Eulero suppose che le regole dei polinomi finiti fossero valide anche per le serie infinite. Naturalmente questa supposizione richiede una dimostrazione, ma anche senza giustificazione, semplicemente ottenendo un valore prossimo a quello ottenuto col calcolo egli poteva essere piuttosto sicuro della correttezza del suo risultato. Si consideri lo sviluppo in serie di Taylor della funzione seno centrato in  :

 

Dividendo per   entrambi i termini si ottiene:

 

Le radici di questo polinomio sono  .

Si ponga  :

 

Le radici di questo polinomio sono:  . La formula di Viète dice che la somma dei reciproci delle radici di un polinomio con termine di grado 0 uguale a 1 è uguale al coefficiente del termine di primo grado cambiato di segno. In altre parole la somma dei reciproci delle radici del polinomio   è  .

Si supponga di poter applicare le regole dei polinomi finiti anche per questo polinomio infinito. Si ottiene:

 

Moltiplicando entrambi i termini per   si ha:

 

Una dimostrazione rigorosaModifica

La seguente dimostrazione di   è la più semplice disponibile; mentre la maggior parte delle altre utilizza i risultati dalla matematica avanzata, quali analisi di Fourier, analisi complessa e calcolo a più variabili.

Storia della dimostrazioneModifica

L'origine della dimostrazione è poco chiara. È comparsa sulla rivista Eureka nel 1982, attribuita a John Scholes, ma era “conoscenza comune” a Cambridge verso la fine degli anni '60.

Che cosa bisogna conoscereModifica

Nozioni preliminari:

  • La formula di De Moivre:  
  • Il teorema binomiale:       dove       è il coefficiente binomiale.
  • La funzione cot2 x ha una corrispondenza biunivoca nell'intervallo (0, π/2).
    • Dimostrazione: si supponga che cot2 x = cot2 y per alcuni x e y nell'intervallo (0, π/2). Dalla definizione di cotangente cot x = (cos x)/(sin x) e dell'identità trigonometrica cos2 x = 1 − sin2 x, si ricava (sin2 x)(1 − sin2 y) = (sin2 y)(1 − sin2 x). Aggiungendo (sin2 x)(sin2 y) a entrambi i termini si ottiene sin2 x = sin2 y. Poiché la funzione seno non è mai negativa in (0, π/2), si ha sin x = sin y, ma guardando circonferenza goniometrica è geometricamente evidente che la funzione seno è crescente nell'intervallo (0, π/2), per cui x = y.
  • Se p(t) è un polinomio di grado m, p ha esattamente m radici in C, contate con le relative molteplicità.
  • Se p(t) = amtm + am − 1tm − 1 + ... + a1t + a0, dove am ≠ 0, allora la somma delle radici di p (contando le molteplicità) è −am − 1/am
    • Dimostrazione: Se am = 1, allora p(t) = prodotto di tutti i (ts), dove s spazia tra tutte le radici di p. Espandendo questo prodotto, si vede che il coefficiente di tm − 1 è l'opposto della somma di tutte le altre radici. Se am ≠ 1 è possibile dividere per esso ogni termine, ottenendo un nuovo polinomio con le stesse radici, il cui coefficiente di partenza è 1; reiterando lo stesso ragionamento, si vede che la somma di tutte le radici del p(t) = somma di tutte le radici del nuovo polinomio = −am − 1/am.
  • L'identità trigonometrica csc 2 x = 1 + cot 2 x.
    • Dimostrazione: È conseguenza dell'identità fondamentale 1 = sin2 x + cos2 x dove ogni termine è stato diviso per sin2 x.
  • Per un numero reale x compreso tra 0 e π/2 vale la diseguaglianza cot 2 x < 1/x2 < csc2 x.
    • Per x piccoli, è noto che 0 < sin x < x < tan x, come è possibile vedere qui:

 

Per notare che 0 < sin x < x, si osservi il fatto che nella figura sin θ è la lunghezza della linea AC, e θ è la lunghezza dell'arco circolare AD.
Per notare che x < tan x, si osservi che l'area del triangolo OAE è tan(θ)/2, l'area del settore OAD è θ/2, e che il settore è contenuto nel triangolo.
Si consideri il reciproco di ogni elemento trigonometrico fin qui nominato e se ne calcoli il quadrato. La disequazione sui reciproci ha direzione opposta.
  • Dati tre numeri reali a, b, c con a ≠ 0; il limite della funzione (am + b)/(am + c) con m che tende a infinito è 1, cioè  .
    • Dimostrazione: Si divida ogni termine per m, e si prenda (a + b/m)/(a + c/m). Dato che quoziente di una frazione il cui denominatore cresce indefinitamente tende a zero; così, sia numeratore sia denominatore tendono ad a, e il loro quoziente tende a 1.
  • Il teorema del confronto per le funzioni (o teorema dei carabinieri): se una funzione è maggiorata e minorata da due funzioni che tendono allo stesso limite, allora anche la funzione in questione tende a tale limite.

La dimostrazioneModifica

L'idea principale di questa dimostrazione è trovare un limite alle somme parziali

 

tra due espressioni tendenti ciascuna a   (con m che tende a infinito). Le due espressioni sono derivate dalle identità che coinvolgono le funzioni di cosecante e di cotangente. Queste identità a loro volta sono derivate dalla formula di De Moivre. Dati il numero reale   compreso tra   e   e l'intero positivo  , in base alla formula di De Moivre si ha:

 

Dal teorema binomiale si ricava:

 

La combinazione delle due equazioni dà la seguente identità:

 

Si ponga  , dove   è un naturale per cui   è un valore dispari.

Per   con  , cioè per   si ha   per ogni valore di  , quindi l'identità sopra esposta diventa:

 

I valori di   (con  ) che soddisfano l'equazione precedente sono compresi tra   e  , e poiché la funzione   ha corrispondenza biunivoca nell'intervallo   essa assume un valore diverso per ogni  . Dalla suddetta equazione risulta che ciascuno di questi numeri (diversi) è la radice di un polinomio   di grado   in  ,

 

È dunque possibile calcolare direttamente la somma delle   radici   prendendo in considerazione i coefficienti di  .

 

Ricordando che   ed inserendo l'identità trigonometrica   si ottiene:

 

Ricordando inoltre che   si ottiene:

 

Considerando la disuguaglianza   per ciascuno dei numeri   e sommandoli, per le due identità precedenti ai ottiene:

 

A questo punto moltiplicando per   si ha:

 

Per   tendente a infinito i termini a sinistra e a destra delle disuguaglianze convergono entrambi a   e per il teorema del confronto si conclude:

 

Altra dimostrazioneModifica

Un'altra procedura per il calcolo di  , che fa uso di integrali, si trova qui.

Dimostrazione utilizzando la serie di FourierModifica

Un'altra possibile dimostrazione fa uso delle proprietà delle Serie di Fourier. Si consideri la funzione   con  e la sua estensione periodica a tutto  , continua su   con un numero finito di punti di discontinuità[finito o infinito?].

La Serie di Fourier associata converge quindi uniformemente alla funzione  . Essendo   una funzione dispari, la sua espansione in serie contiene solo funzioni seno, il cui coefficiente  è dato dalla Forma Rettangolare:

 

La serie di Fourier associata risulta quindi:  . Utilizzando poi l'uguaglianza di Parseval si ottiene l'identità:

 

da cui segue:

 

GeneralizzazioneModifica

Con procedimenti molto simili a quelli usati per il caso s=2 è stata trovata la forma chiusa per la somma dell'inverso di qualsiasi potenza pari:

 
 

Più in generale:

 

dove   sono i numeri di Bernoulli. Non è stato però compiuto alcun passo nella determinazione di una forma chiusa per i valori dispari di  . Solo recentemente è stato dimostrato che   è un numero irrazionale chiamato costante di Apéry.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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