Problema di Brocard

In teoria dei numeri, il problema di Brocard chiede di trovare per quali interi n, l'espressione n! + 1 è un quadrato perfetto; si congettura che ciò avvenga solo per n uguale a 4, 5 o 7. In altre parole, non è noto se esistano altre soluzioni (n, m) dell'equazione diofantea

n! + 1 = m²

a parte le coppie (4, 5), (5, 11) e (7, 71). Queste coppie vengono chiamate numeri di Brown.

Il problema fu posto per la prima volta da Henri Brocard nel 1876, e indipendentemente, nel 1913, da Srinivasa Ramanujan. Nel 1906 A. Gérardin dimostrò che, se esistono soluzioni per m > 71, allora m ha almeno 20 cifre. Nel 1935 H. Gupta affermò che non vi fossero soluzioni per n ≤ 63 oltre a quelle già note.

Nel 1993 M. Overholt dimostrò che, se la forma debole della congettura di Szpiro è vera, allora esistono solo un numero finito di soluzioni dell'equazione.

Nel 1986 Wells verificò che non ci sono soluzioni per n ≤ 10⁷, e nel 2000 Bruce Berndt e William Galway hanno esteso questo risultato ad n ≤ 10⁹.

Generalizzazione

È naturale generalizzare il problema, e, fissato un intero positivo k, chiedersi quante e quali siano le soluzioni dell'equazione

n! + k = m²

A. Dabrowski dimostrò che le soluzioni sono finite se k non è un quadrato perfetto. Inoltre, assumendo la forma debole della congettura di Szpiro, dimostrò che le soluzioni sono in numero finito anche se k è un quadrato perfetto.

Voci correlate

• Fattoriale
• Quadrato perfetto
• Congettura di Szpiro

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Problema di Brocard / Problema di Brocard (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
• Bruce B. Berndt e William F. Galway, "On the Brocard-Ramanujan Diophantine Equation.", dove sono presenti i risultati della verifica fino a n ≤ 10⁹ e sulla generalizzazione del problema, scaricabile agli indirizzi http://www.math.uiuc.edu/~galway/Submissions/Ramanujan469.ps e http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf.