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Dimostrazione grafica che 1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 + 1/(2×3×11×23×31). Ogni riga, composta con k quadrati di lato 1/k, ha area totale 1/k, e tutti insieme ricoprono esattamente un quadrato di area 1. L'ultima riga ha 47058 quadrati di lato 1/47058 e per questo troppo piccola da osservare nella figura.

Nella teoria dei numeri, il problema di Znám si chiede quali insiemi di interi hanno la proprietà che ogni elemento nell'insieme sia un divisore proprio del prodotto degli altri numeri, più 1. Il nome del problema deriva dal matematico slovacco Štefan Znám, che lo suggerì nel 1972, sebbene altri matematici abbiano considerato problemi simili nello stesso periodo. Un problema collegato fa cadere l'ipotesi di divisibilità propria, e in seguito sarà chiamato problema di Znám improprio.

Si costruisce facilmente una soluzione al problema di Znám improprio prendendo i primi termini della successione di Sylvester. Sun (1983) mostrò che esiste almeno una soluzione del problema di (proprio) per ogni . La soluzione di Sun si basa su una relazione di ricorrenza simile a quella della successione di Sylvester, ma con una differente scelta di valori iniziali.

Il problema di Znám è strettamente collegato alle frazioni egizie. Si sa che esistono solo un numero finito di soluzioni per ogni fissato, ma rimane ancora sconosciuto se esistono soluzioni al problema di Znám con solo numeri dispari, insieme a molte altre questioni aperte.

Il problemaModifica

Il problema di Znám si chiede quali insiemi di interi hanno la proprietà che ogni elemento nell'insieme sia un divisore proprio del prodotto degli altri numeri, più 1. Cioè, fissato  , quali insiemi di interi

 

esistono tali che, per ogni  ,   divide ma non è uguale a

 

Un problema strettamente collegato riguarda insiemi di interi in cui ogni elemento è un divisore, non necessariamente proprio, del prodotto degli altri interi più 1. Questo problema non sembra avere un nome in letteratura, e sarà qui indicato come problema di Znám improprio. Ogni soluzione del problema di Znám è anche soluzione della versione impropria, ma non vale necessariamente il contrario.

StoriaModifica

Il problema di Znám deve il suo nome al matematico slovacco Štefan Znám, che lo suggerì nel 1972. Barbeau (1971) pose il problema di Znám per  , e Mordell (1973), indipendentemente da Znám, trovò tutte le soluzione al problema improprio per  . Skula (1975) mostrò che il problema di Znám' non ha soluzione per  , e attribuì a J. Janák la scoperta della soluzione {2, 3, 11, 23, 31} per  .

EsempiModifica

Una soluzione al caso   è {2, 3, 7, 47, 395}. Qualche calcolo mostra che

3 × 7 × 47 × 395 + 1 = 389866,   che è divisibile ma non uguale a 2,
2 × 7 × 47 × 395 + 1 = 259911,   che è divisibile ma non uguale a 2,
2 × 3 × 47 × 395 + 1 = 111391,   che è divisibile ma non uguale a 2,
2 × 3 × 7 × 395 + 1 = 16591,   che è divisibile ma non uguale a 2, e
2 × 3 × 7 × 47 + 1 = 1975,   che è divisibile ma non uguale a 2.

Un'interessante soluzione "mancata" per   è l'insieme {2, 3, 7, 43}, formato dai primi quattro termini della successione di Sylvester. Possiede la proprietà che ogni intero divide il prodotto degli altri elementi nell'insieme più 1, ma l'ultimo numero è proprio uguale al prodotto più uno, invece di essere un divisore proprio. Di conseguenza, è una soluzione del problema di Znám improprio ma non di quello originale.

Connessione con le frazioni egizieModifica

Ogni soluzione al problema di Znám improprio è equivalente (attraverso una divisone per il prodotto degli  ) a risolvere l'equazione

 

dove   e   devono essere interi. Tuttavia, tutte le soluzione conosciute hanno  , perciò soddisfano l'equazione

 

In altre parole, portano a una rappresentazione in frazioni egizie del numero 1, cioè come somme di frazioni unitarie. Molti degli articoli citati sul problema di Znám studiano anche le soluzioni di questa equazione. Brenton & Hill (1988) descrive un'applicazione dell'equazione in topologia, nella classificazione delle singolarità sulle superfici, e Domaratzki et al. (2005) espone l'applicazione alla teoria dell'automa a stati finiti non deterministico.

Numero di soluzioniModifica

Come mostrò Janák & Skula (1978), il numero di soluzioni per   fissato è finito k, quindi per ogni   ha senso contare le soluzioni.

Brenton e Vasiliu calcolarono che il numero di soluzioni per piccoli valori di  , partendo da  , forma la sequenza

2, 5, 18, 96 (sequenza A075441 in OEIS).

Attualmente, si conoscono alcune soluzioni al caso   e  , ma è ancora incerto quante soluzioni rimangono da scoprire per questi valori di  . Tuttavia, esistono infinite soluzione se   non è fissato: Cao & Jing (1998) mostrò che ci sono almeno 39 soluzioni per ogni  , migliorando i precedenti risultati di (Cao, Liu & Zhang (1987) e Sun & Cao (1988)). Sun & Cao (1988) congetturò che il numero di soluzioni per ciascun valore di   crescesse monotonicamente con  .

Rimane sconosciuto se esistono delle soluzioni al problema di Znám's composte da solo numeri dispari. Tranne un'eccezione, tutte le soluzioni iniziano con il numero 2. Se tutti gli elementi di una soluzione del problema di Znám (proprio o improprio) sono numeri primi, il loro prodotto è un numero pseudoperfetto primario (Butske, Jaje & Mayernik (2000)); è ignoto se esistono infinite soluzioni di questo tipo.

BibliografiaModifica

Collegamenti esterniModifica

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