Processo di Wiener

In matematica, un processo di Wiener, conosciuto anche come moto browniano, è un processo stocastico gaussiano in tempo continuo con incrementi indipendenti, usato per modellizzare il moto browniano stesso e diversi fenomeni casuali osservati nell'ambito della matematica applicata, della finanza e della fisica. È uno dei processi di Lévy meglio conosciuti.

Una singola traiettoria di un processo di Wiener unidimensionale

Il processo di Wiener ricopre un ruolo importante anche in matematica pura, dove diede vita allo studio della martingala a tempo continuo, che risultò fondamentale per la descrizione e la modellizzazione di processi stocastici più complessi. Per questo, questo tipo di processo ricopre un ruolo vitale nel calcolo stocastico, nei processi di diffusione e anche nella teoria del potenziale.

In matematica applicata, il processo di Wiener è usato per rappresentare l'integrale del rumore bianco gaussiano; ed è molto utile come modello del rumore in ingegneria elettronica, nella teoria dei filtri e per rappresentare gli ingressi sconosciuti nella teoria dei controlli.

DefinizioneModifica

Un processo di Wiener   è caratterizzato dalle seguenti condizioni:

  • Il processo parte da 0, ovvero   quasi certamente;
  • Le traiettorie, ovvero le funzioni   sono continue quasi certamente;
  • Il processo ha incrementi indipendenti, ovvero, scelti quattro tempi   (gli intervalli   e   non si intersecano), allora
  e  
sono variabili casuali indipendenti.
  • Il processo ha incrementi gaussiani, ovvero scelti due tempi  
 
dove   denota una distribuzione normale con media   e varianza  ;


ProprietàModifica

Dalla definizione segue che, per ogni t, la variabile aleatoria   ha legge gaussiana  . Da questo fatto possono essere ricavate le seguenti proprietà:

 
 
 
  • La covarianza tra   e   è pari al minimo tra s e t
 
  • La correlazione tra   e   è pari a
 

Massimo e minimoModifica

Sia   il massimo raggiunto dal moto browniano nell'intervallo  . La densità di probabilità incondizionata di   è data da:

 .

Il valore atteso del massimo è:

 

Se invece   è il minimo raggiunto dal moto browniano in  , per simmetria dello stesso la densità di probabilità incondizionata di   è data da:

 .

Il valore atteso del minimo è:

 
La distribuzione di probabilità di massimi e minimi, condizionata a un valore   prefissato, è descritta in "Distribuzione di probabilità dei punti estremanti di un processo stocastico di Wiener" . Nel caso del minimo, la distribuzione di probabilità condizionata a un valore prefissato   è:
 

Proprietà di scalingModifica

Se   è un moto browniano, allora

  •   è un moto browniano
  •   è un moto browniano
  • Per ogni  ,   è un moto browniano
  • Il processo   tale che   e   per   è un moto browniano.

Regolarità delle traiettorieModifica

Il moto browniano è continuo quasi certamente per definizione. Se si elimina questa condizione dalla sua caratterizzazione, si ottiene un processo non necessariamente continuo. Utilizzando il teorema di continuità di Kolmogorov si può però dimostrare che questo processo ha comunque una versione continua quasi certamente. In questo senso, la condizione di continuità seleziona proprio questa versione.

Utilizzando lo stesso teorema, si dimostra anche che quasi certamente ogni traiettoria del moto browniano è holderiana di esponente   solo per  .

Pur essendo continua su tutto il proprio dominio, la traiettoria del moto browniano non è derivabile in nessun punto.

Comportamento asintoticoModifica

La legge del logaritmo iterato afferma che, se   è un moto browniano, allora

 

Proprietà di martingalaModifica

Il processo di Wiener è una martingala. Più in particolare, se   è un processo di Wiener e   è un polinomio che soddisfa

 

allora   è una martingala.

Differenziale del processo di WienerModifica

Se si considera il processo di Wiener in corrispondenza di un lasso di tempo sufficientemente piccolo si ottiene l'incremento infinitesimo di tale processo nella forma

  (1)

la quale può scriversi come

 

Tale processo non è a variazione limitata, e per questo non risulta differenziabile nell'ambito dell'analisi classica. Infatti la precedente tende ad infinito al tendere a zero dell'intervallo  .

Accantonati in parte gli strumenti dell'analisi classica, il differenziale del processo di Wiener può essere comunque definito in senso stocastico. Infatti, essendo la varianza di tale processo   ed essendo il valore atteso di tale processo nullo   si ha che la media quadratica del processo di Wiener coincide con il tempo trascorso, ovvero  .

In base a ciò possiamo definire il differenziale di un processo di Wiener tramite il differenziale della media quadratica di tale processo. Ovvero il differenziale di   rispetto al tempo è   in quanto il differenziale di   è  .

In altre parole il differenziale di un processo di Wiener è quel processo la cui media quadratica coincide con il differenziale della media quadratica del processo di Wiener da differenziare. (In formule  )

In base a quanto sopra esposto si può definire il differenziale di un processo di Wiener con la formula

 

la quale, confrontata con la (1), mostra che secondo l'approccio stocastico   coincide proprio con  , e sussistono le proprietà   ed  .

In termini meno formali il differenziale del processo di Wiener non è altro che un processo di Wiener considerato in un lasso di tempo infinitesimo.

Un'interessante proprietà del processo di Wiener è l'approssimativa non stocasticità del fattore   al tendere a zero del fattore temporale  .

BibliografiaModifica

  • T. Hida, Brownian Motion, Springer, 1980.
  • I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1998.
  • Revuz D., M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, 1991.
  • Paolo Baldi, Equazioni differenziali stocastiche, Pitagora editrice, 2000, ISBN 978-88-371-1211-0.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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