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Si definisce processo stocastico markoviano (o di Markov), un processo aleatorio in cui la probabilità di transizione che determina il passaggio a uno stato di sistema dipende solo dallo stato del sistema immediatamente precedente (proprietà di Markov) e non da come si è giunti a questo stato.[1] Viceversa si dice processo non markoviano un processo aleatorio per cui non vale la proprietà di Markov.

Prende il nome dal matematico russo Andrej Andreevič Markov che per primo ne sviluppò la teoria.

Modelli di tipo markoviano vengono utilizzati nel progetto di reti di telecomunicazioni: la teoria delle code che ne consegue trova applicazione in molti ambiti, dalla fila agli sportelli ai pacchetti dati in coda in un router.

Un processo di Markov può essere descritto per mezzo dell'enunciazione della proprietà di Markov, o condizione di "assenza di memoria", che può essere scritta come:

Indice

Catene di MarkovModifica

Una catena di Markov è un processo di Markov con spazio degli stati discreto, quindi è un processo stocastico che assume valori in uno spazio discreto e che gode della proprietà di Markov. L'insieme   di spazio degli stati può essere finito o infinito numerabile. Nel primo caso si parla di catena di Markov a stati finiti. Una catena di Markov può essere tempo-continua o tempo-discreta, in base all'insieme di appartenenza della variabile tempo (continuo o discreto).

Formalmente una catena di Markov è un processo stocastico Markoviano caratterizzato da un parametro  , da un insieme   di stati e da una funzione probabilità di transizione  .

Essendo un processo Markoviano,   gode della proprietà di Markov:

 

Nel caso di catena di Markov a tempo discreto, cioè con l'insieme   discreto, la notazione si semplifica:

 

Catene di Markov omogeneeModifica

Una catena di Markov omogenea è un processo markoviano in cui la probabilità di transizione al tempo   non dipende dal tempo stesso, ma soltanto dallo stato del sistema al tempo immediatamente precedente  . In altre parole, la probabilità di transizione è indipendente dall'origine dell'asse dei tempi e quindi dipende soltanto dalla distanza tra i due istanti temporali.

Per le catene omogenee vale la condizione

 

Più in generale si dimostra che in una catena di Markov omogenea la probabilità di transizione da uno stato a un altro in   passi è costante nel tempo:

 

I sistemi reali che possono essere modellati con catene di Markov omogenee sono rari: è sufficiente pensare al sistema "tempo atmosferico" per capire come la probabilità di transizione da uno stato (per esempio "sole") a un altro stato (per esempio "pioggia") dipende dalla stagione, quindi non è possibile modellare questo sistema come catena di Markov omogenea. Tuttavia restringendo l'analisi del sistema a un determinato intervallo di tempo si può considerare il comportamento omogeneo: in questo caso l'intervallo di tempo potrebbe essere una singola stagione.

Matrice di transizioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice di transizione.

Una catena di Markov omogenea a stati finiti in cui l'insieme   degli stati del sistema è finito e ha   elementi può essere rappresentata mediante una matrice di transizione   e un vettore di probabilità iniziale  .

Gli elementi di   rappresentano le probabilità di transizione tra gli stati della catena: una catena che si trova nello stato   ha probabilità   di passare allo stato j nel passo immediatamente successivo. In particolare gli elementi   sulla diagonale principale di   indicano le probabilità di rimanere nello stesso stato  . Il vettore   definisce le probabilità che inizialmente la catena di Markov si trovi in ciascuno degli   stati. Una catena di Markov omogenea è univocamente definita dalla coppia  .

Se al tempo   ha la distribuzione di probabilità   allora le probabilità   che a un tempo   il sistema si trovi in ciascuno degli   stati sono date dal vettore così definito:

 

dove   indica la trasposta del vettore  .

Dalla definizione assiomatica della probabilità discendono le seguenti proprietà per la matrice  :

  •  
  •  .

La seconda proprietà equivale a richiedere che la somma degli elementi su ciascuna riga sia uguale a 1.

Per esempio,   e   possono essere i seguenti:

 

Nel caso di una catena di Markov omogenea a stati discreti si può adottare la notazione sintetica:

 

dove (n) non è un esponente bensì è un indice.

Si ha quindi  .

Si hanno le seguenti proprietà:

  •  
  •  .

Catene di Markov aperiodicheModifica

Il periodo di uno stato   di una catena di Markov a stati discreti, con   finito o infinito numerabile, è definito come il minimo numero di passi temporali affinché vi sia una probabilità diversa da zero di tornare sullo stesso stato, partendo dallo stato   al tempo  . Formalmente il periodo   è definito come segue:

 

dove MCD indica il massimo comune divisore.

Nel caso di una catena di Markov omogenea a stati finiti con numero di stati  , rappresentabile quindi con una matrice  , si può riformulare la definizione così:

 .

Lo stato   è detto aperiodico se il suo periodo è uguale a 1.

Una catena di Markov è detta aperiodica se tutti i suoi stati sono aperiodici, altrimenti è detta periodica.

Se una catena di Markov è irriducibile allora tutti i suoi stati hanno lo stesso periodo.

Catene di Markov irriducibiliModifica

Una catena di Markov a stati discreti è detta irriducibile se partendo da ogni stato   c'è una probabilità maggiore di zero di raggiungere ogni altro stato  . Formalmente una catena di Markov è irriducibile se:

 .

Stati ricorrenti positiviModifica

Sia

 

lo stato   si dice ricorrente positivo se  

Se una catena è irriducibile e un suo stato è ricorrente positivo allora tutti i suoi stati sono ricorrenti positivi, in tale caso la catena si dice ricorrente positiva .

Distribuzioni stazionarieModifica

Data una catena di Markov omogenea a stati discreti, una sua distribuzione stazionaria di probabilità, detta anche distribuzione di equilibrio,   è una distribuzione discreta di probabilità che soddisfa le seguenti:

  •  
  •  
  •  .

Informalmente una distribuzione stazionaria è una distribuzione di probabilità che si mantiene costante all'evolversi nel tempo della catena di Markov.

L'importanza delle distribuzioni stazionarie per le catene di Markov omogenee a stati discreti è data dai seguenti teoremi:

  • Il teorema di esistenza e unicità afferma che data una catena di Markov omogenea a stati discreti con probabilità di transizione   e spazio degli stati  , se la catena di Markov è irriducibile e ricorrente positiva allora esiste un'unica distribuzione stazionaria   per la catena di Markov.
  • Il teorema della convergenza afferma che data una catena di Markov omogenea a stati discreti con probabilità di transizione   e spazio degli stati  , se la catena di Markov è irriducibile, aperiodica e ricorrente positiva allora la distribuzione di probabilità   al tempo  , converge alla distribuzione stazionaria   per ogni distribuzione iniziale di probabilità   scelta. Si ha cioè
 .

La convergenza di una catena di Markov a una distribuzione stazionaria e la possibilità di costruire una catena con una distribuzione stazionaria scelta sono alla base del funzionamento dell'algoritmo di Metropolis-Hastings.

Catene di Markov ergodicheModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria ergodica.

Una catena di Markov si definisce ergodica se e solo se per ogni istante iniziale   e per ogni condizione iniziale di probabilità   esiste ed è indipendente da   e da   il limite della probabilità per tempi infiniti

 .

ApplicazioniModifica

 
Schematizzazione del sistema PageRank
  • Molti algoritmi di Link Analysis Ranking si basano sulla teoria di processi markoviani. Ad esempio il PageRank inferito da Google si basa sulla frequenza a posteriori di transizione degli utenti da un sito web A a un sito B tramite i link che da A conducono a B e non sul semplice numero e tipo di collegamenti da A a B, in modo da rispecchiare la popolarità del legame per gli utenti e non l'importanza per il creatore del sito. Cioè la frequenza di un sito è un valore nell'intervallo [0,1] corrispondente alla quantità media di tempo spesa sul sito da un gran numero di utenti dopo un tempo abbastanza elevato: la frequenza, opportunamente riscalata, costituisce il Page Rank del sito. Dato che la frequenza di transizione approssima la probabilità di transizione si può stimare la distribuzione stazionaria di probabilità della catena di Markov formata da tutti i siti web, costruendo una matrice di transizione.
  • Fa uso di modelli statistici markoviani anche un filone di modellistica del linguaggio naturale. Ad esempio nell'ambito della sintesi vocale lo CSELT è stato tra i precursori di questo filone, in particolare per la lingua italiana e le lingue latine.[2]
  • Diversi algoritmi previsionali in ambito economico, finanziario e di dinamica dei sistemi fanno uso dei processi markoviani.

Anche gran parte della modellistica di serie temporali in finanza si basa su processi stocastici generati da catene di Markov.

NoteModifica

  1. ^ Markov chain | Definition of Markov chain in US English by Oxford Dictionaries, su Oxford Dictionaries | English. URL consultato il 27 novembre 2018.
  2. ^ Billi, R., Canavesio, F., Ciaramella, A., & Nebbia, L. (1994, September). Interactive voice technology at work: The CSELT experience. In Interactive Voice Technology for Telecommunications Applications, 1994., Second IEEE Workshop on (pp. 43-48). IEEE.

BibliografiaModifica

  • (EN) Olle Häggström (2002), Finite Markov Chains and Algorithmic Applications, Cambridge University Press, ISBN 0-521-81357-3

Voci correlateModifica

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