Prodotto di Cauchy

In analisi matematica, il prodotto di Cauchy (o secondo Cauchy) di due successioni di termine generale e è la successione avente come termine generale[1].

Questa operazione è la convoluzione discreta delle due successioni.

Il nome è stato attributo in onore del suo inventore Augustin-Louis Cauchy.

SerieModifica

Un'importante applicazione di questa definizione si ha nel contesto delle serie: date due serie

 

a termini reali o complessi, il loro prodotto di Cauchy è la serie

 .

Se entrambe le serie convergono, e almeno una è assolutamente convergente, allora la serie prodotto converge al prodotto delle somme delle due serie di partenza[2], ossia

 

Se inoltre entrambe le serie convergono assolutamente, allora converge assolutamente anche la serie prodotto[1].

OsservazioneModifica

Il prodotto di due serie convergenti, ma non assolutamente convergenti, può non essere convergente. Ad esempio, il prodotto della serie convergente

 

con sé stessa risulta divergente, in quanto il termine generale del prodotto di Cauchy è

 

che è la serie armonica.

SommatorieModifica

Se il prodotto avviene tra due sommatorie che non si estendono fino all'infinito, ma fino a n, a termini reali o complessi, il loro prodotto di Cauchy è la sommatoria definita come

 

a patto che   e   sono definiti per k compreso tra 0 e 2n.

Nel caso di  , si ritrova il prodotto di Cauchy per le serie.

NoteModifica

  1. ^ a b Soardi, pag. 140.
  2. ^ Soardi, pag. 142.

BibliografiaModifica

  • P. M. Soardi, Analisi Matematica (nuova edizione), Novara, Città Studi Edizioni, 2010, p. 113, ISBN 978-88-251-7359-8.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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