Profondità ottica

In fisica, la profondità ottica o spessore ottico, è espressa dal logaritmo naturale del rapporto tra il flusso radiante incidente e quello trasmesso attraverso un materiale. Questo implica che più è grande la profondità ottica, tanto più piccola è la quantità di radiazione trasmessa attraverso il materiale.

Profondità ottica degli aerosol, in inglese: Aerosol Optical Depth (AOD), a 830 nm misurata con un fotometro solare dal 1990 al 2016 al Geronimo Creek Observatory, in Texas. Le misurazioni sono state effettuate a mezzogiorno in giornate prive di nubi. I picchi nel grafico indicano la presenza di fumo, polvere o smog. In estate viene rilevata la presenza di polvere del Sahara.

La profondità ottica è una quantità adimensionale e non è una lunghezza, nonostante sia una funzione monotona crescente con la lunghezza del cammino ottico e che si approssima a zero quando la lunghezza del percorso si approssima a zero. La dizione densità ottica non è è raccomandata dalla IUPAC.

In chimica, al posto della profondità ottica si utilizza una quantità strettamente correlata chiamata assorbanza, che è data dal normale logaritmo del rapporto tra il flusso radiante incidente e quello trasmesso attraverso un materiale; è cioè la profondità ottica divisa per il ln 10.

Definizioni matematiche

Profondità ottica

La profondità ottica di un materiale, denotata ${\textstyle \tau }$, è data da:

$\tau =\ln \!\left({\frac {\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }}{\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }}}\right)=-\ln T$

dove

• ${\textstyle \Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }}$ è il flusso radiante ricevuto da quel materiale;
• ${\textstyle \Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }}$ è il flusso radiante trasmesso da quel materiale;
• ${\textstyle T}$ è la trasmittanza di quel materiale.

L'assorbanza ${\textstyle A}$ è collegata alla profondità ottica da:

$\tau =A\ln {10}$

Profondità ottica spettrale

Per un dato materiale, la profondità ottica spettrale in frequenza e la profondità ottica spettrale in lunghezza d'onda, denotate rispettivamente da $\tau _{\nu }$ e $\tau _{\lambda }$, sono date da:

$\tau _{\nu }=\ln \!\left({\frac {\Phi _{\mathrm {e} ,\nu }^{\mathrm {i} }}{\Phi _{\mathrm {e} ,\nu }^{\mathrm {t} }}}\right)=-\ln T_{\nu }$

$\tau _{\lambda }=\ln \!\left({\frac {\Phi _{\mathrm {e} ,\lambda }^{\mathrm {i} }}{\Phi _{\mathrm {e} ,\lambda }^{\mathrm {t} }}}\right)=-\ln T_{\lambda },$

dove

• $\Phi _{\mathrm {e} ,\nu }^{\mathrm {t} }$ è il flusso radiante spettrale in frequenza trasmesso dal materiale;
• $\Phi _{\mathrm {e} ,\nu }^{\mathrm {i} }$ è il flusso radiante spettrale in frequenza ricevuto dal materiale;
• $T_{\nu }$ è la trasmittanza spettrale in frequenza del materiale;
• $\Phi _{\mathrm {e} ,\lambda }^{\mathrm {t} }$ è il flusso radiante spettrale in lunghezza d'onda trasmesso dal materiale;
• $\Phi _{\mathrm {e} ,\lambda }^{\mathrm {i} }$ è il flusso radiante spettrale in lunghezza d'onda ricevuto dal materiale;
• $T_{\lambda }$ è la trasmittanza spettrale in lunghezza d'onda del materiale.

L'assorbanza spettrale è correlata alla profondità ottica spettrale da:

$\tau _{\nu }=A_{\nu }\ln 10,$

$\tau _{\lambda }=A_{\lambda }\ln 10,$

dove

• $A_{\nu }$ è l'assorbanza spettrale in frequenza;
• $A_{\lambda }$ è l'assorbanza spettrale in lunghezza d'onda.

Relazione con l'attenuazione

Attenuazione

La profondità ottica misura l'attenuazione del flusso radiante trasmesso in un materiale. L'attenuazione può essere causata da assorbimento, riflessione, diffusione e altri processi. La profondità ottica del materiale è approssimativamente uguale all'attenuazione quando l'assorbanza è molto minore di 1 e contemporaneamente l'emittanza è molto minore della profondità ottica:

$\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }+\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {att} }=\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }+\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {e} },$

$T+ATT=1+E,$

dove:

• Φ_e^t è il flusso radiante trasmesso dal materiale;
• Φ_e^att è il flusso radiante attenuato dal materiale;
• Φ_eⁱ è il flusso radiante ricevuto dal materiale;
• Φ_e^e è il flusso radiante emesso dal materiale;
• T = Φ_e^t/Φ_eⁱ è la trasmittanza del materiale;
• ATT = Φ_e^att/Φ_eⁱ è l'attenuazione del materiale;
• E = Φ_e^e/Φ_eⁱ è l'emittanza del materiale,

e secondo la legge di Lambert-Beer,

$T=e^{-\tau },$

cosicché:

$ATT=1-e^{-\tau }+E\approx \tau +E\approx \tau ,\quad {\text{se}}\ \tau \ll 1\ {\text{and}}\ E\ll \tau .$

Coefficiente di assorbimento

La profondità ottica di un materiale è correlata anche al suo coefficiente di assorbimento da:

$\tau =\int _{0}^{l}\alpha (z)\,\mathrm {d} z,$

dove

• l è lo spessore di materiale attraverso cui passa la luce;
• α(z) è il coefficiente di assorbimento o coefficiente di assorbimento napieriano del materiale in z;

se α(z) è uniforme lungo il cammino, si dice che l'assorbimento è lineare e la relazione diviene:

$\tau =\alpha l$

A volte la relazione viene espressa usando l'assorbimento di sezione d'urto del materiale, che è il coefficiente di assorbimento diviso per la densità di numero:

$\tau =\int _{0}^{l}\sigma n(z)\,\mathrm {d} z,$

dove

• σ è l'assorbimento di sezione d'urto del materiale;
• n(z) è la densità di numero del materiale in z,

se $n$ è uniforme lungo il cammino, cioè $n(z)\equiv N$, la relazione diventa:

$\tau =\sigma Nl$

Descrizione

Proviamo a pensare alla nebbia: un oggetto immediatamente avanti a noi è ben visibile, quindi in questo caso la nebbia ha come valore di profondità ottica uguale a zero; ma a mano a mano che allontaniamo l'oggetto la profondità ottica aumenta, fino a raggiungere un enorme valore per cui l'oggetto non sarà più visibile.

La profondità ottica è perciò la quantità di luce che viene dispersa, o perché diffusa (sparsa) o perché assorbita, durante un dato percorso in un mezzo. Se $I_{0}$ è l'intensità di radiazione alla fonte ed $I$ l'intensità osservata dopo un percorso, il ${\tau }$ ottico è definito dalla seguente equazione:

$I/I_{0}=e^{-\tau }$

${\tau }$ varia entro 0 e ${+\infty }$; è maggiore o uguale a 1 per i materiali totalmente opachi, più essi diventano trasparenti più il suo valore tende verso lo zero.

${\tau }\,=-\ln(I/I_{0})$

Nelle scienze atmosferiche la profondità ottica corrisponde al percorso verticale dalla superficie della terra (o dall'altezza dell'osservatore) allo spazio esterno.

Poiché ${\tau }$ si riferisce ad un percorso verticale, la profondità ottica per un percorso inclinato sarà: ${\tau '}=m{\tau }$, in cui m (chiamato: fattore di massa aerea), per un'atmosfera aerea-parallela è dato: m = 1/cosθ, dove θ è l'angolo allo zenit del percorso; perciò si avrà:

$I/I_{0}=e^{-m\tau }$

La profondità ottica dell'atmosfera può essere misurata con un fotometro solare, confrontando il valore misurato con quello atteso conoscendo la luminosità solare.

Un altro esempio è in astronomia: le stelle, incluso il Sole, non hanno una superficie vera e propria, ma solo strati di gas che si inspessiscono mano a mano che si va in profondità. La superficie è stata arbitrariamente definita come lo strato in corrispondenza del quale la profondità ottica diventa di 2/3.

Da notare che la profondità ottica di un mezzo risulterà differente a seconda della lunghezza d'onda (in altri termini, del colore della luce).

Per gli anelli planetari questa profondità è la parte di luce trattenuta dall'anello quando si trova tra la fonte e l'osservatore. Ciò è ottenuta di solito durante l'osservazione di occultazioni stellari.

Bibliografia

• Petty Grant W., A First Course in Atmospheric Radiation (2nd Ed.), Sundog Pub, 2006, ISBN 9780972903318.

Collegamenti esterni

• (EN) optical depth, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.