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Progressione aritmetica

tipo di sequenza matematica

In matematica una progressione aritmetica è una successione di numeri tali che la differenza tra ciascun termine (o elemento) della successione e il suo precedente sia una costante. Tale costante viene detta ragione della progressione. Per esempio, la successione 3, 5, 7, 9, 11, ... è una progressione aritmetica di ragione 2.

Indice

CalcoloModifica

Se il primo termine di una progressione aritmetica è a e la ragione è d, allora l'n-esimo termine della successione è dato da:

 

Tale proprietà può essere estesa a un qualsiasi termine della progressione; si avrà quindi che:

 

La somma dei numeri di una progressione aritmetica finita si chiama serie aritmetica. La somma S dei primi n valori di una progressione aritmetica è uguale a:

 

dove   è il primo termine e   l'n-esimo.

Esempio: Somma dei primi n positiviModifica

Per esempio per trovare la somma dei primi n interi positivi:

 

si calcola:

 

DimostrazioneModifica

Si deve dimostrare che  . Posizioniamo due progressioni aritmetiche uguali a quella data una sopra l'altra e con gli addendi invertiti di posizione. Ponendo   uguale alla somma e andando poi a sommare in verticali gli addendi corrispondenti, abbiamo che:

 
 
______________________________________________________
 

La riga inferiore presenta addendi uguali perché  . Ciò è facilmente dimostrabile. Infatti, ricordando che l'n-esimo termine è dato da  , effettuando le seguenti sostituzioni:

  •  
  •  

e scrivendo

 

si dimostra che

 

Simili uguaglianze sono dimostrabili per gli altri termini della somma. Ma allora, ricordando che la somma della riga inferiore contiene   termini

 

dividendo entrambi i membri dell'equazione per  

 

CaratteristicheModifica

Le progressioni aritmetiche forniscono le sequenze di intervalli consecutivi di uguale ampiezza (la ragione); queste sequenze servono per la definizione degli integrali e per le campionature delle funzioni reali di una variabile reale; queste ultime sono utilizzate per la presentazione grafica di queste funzioni in tutti gli odierni sistemi e pacchetti computazionali.

Il teorema di Dirichlet, dimostrato nel 1837 da Peter Gustav Lejeune Dirichlet, afferma che in ogni progressione aritmetica in cui il primo termine a e la ragione d siano interi coprimi (ovvero valga MCD(a,d)=1) si trovano infiniti numeri primi.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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