Apri il menu principale

Proiezione (geometria)

concetto in algebra lineare
La proiezione ortogonale di un cubo su un piano verticale.

In algebra lineare e analisi funzionale, una proiezione è una trasformazione lineare definita da uno spazio vettoriale in sé stesso (endomorfismo) che è idempotente, cioè tale per cui : applicare due volte la trasformazione fornisce lo stesso risultato che applicandola una volta sola (dunque l'immagine rimane inalterata).

Nonostante la definizione sia piuttosto astratta, si tratta di un concetto matematico simile (e in qualche modo legato) alla proiezione cartografica.

Indice

Proiezioni ortogonaleModifica

 
La trasformazione P è una proiezione ortogonale sulla retta m.

Nel piano cartesiano o nello spazioModifica

In uno spazio euclideo, come ad esempio il piano cartesiano o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato sottospazio   (ad esempio, una retta o un piano) è una funzione   che sposta ogni punto dello spazio su un punto di   lungo una direzione perpendicolare ad  .

Ad esempio, la proiezione del piano cartesiano sull'asse delle ascisse è la funzione:

 

e la proiezione sulle ordinate è la funzione

 

In uno spazio vettorialeModifica

Se   è un sottospazio vettoriale dello spazio euclideo  -dimensionale  , la proiezione ortogonale su   è definita ponendo:

 

una base ortonormale per lo spazio euclideo, i cui primi   vettori sono una base per  . Scrivendo i vettori attraverso i vettori delle loro coordinate rispetto alla base  , la proiezione su   è la funzione:

 

In modo equivalente, se   e   sono vettori di   e   il prodotto scalare standard, si definisce proiezione di   lungo   il vettore  , dove il numero:

 

è detto coefficiente di Fourier. I vettori   e   sono allora perpendicolari.[1]

Operatore e matrice di proiezioneModifica

Un endomorfismo   di uno spazio vettoriale   è un operatore di proiezione se è idempotente, cioè se  . Gli endomorfismi definiti sopra quindi sono tutti proiezioni.

Analogamente, una matrice quadrata   è una matrice di proiezione se   (dove si fa uso del prodotto fra matrici). Ad esempio:

 

è una matrice di proiezione.

Questa nozione è strettamente collegata a quella di operatore di proiezione, poiché ogni matrice   rappresenta un endomorfismo di  . In particolare, la   appena descritta rappresenta la proiezione ortogonale sul piano orizzontale  :

 

Le matrici seguenti rappresentano proiezioni ortogonali del piano   su una retta:

 

La matrice seguente rappresenta una proiezione non ortogonale sulla retta delle ascisse, simile alla   descritta sopra in figura:

 

ProprietàModifica

Se   sono operatori o matrici di proiezione, valgono le proprietà seguenti:

  •   per ogni numero naturale  .
  • Gli autovalori possibili di   sono +1 e 0.
  • Se   e   "si annullano a vicenda", cioè  , allora la loro somma   è ancora un operatore (o matrice) di proiezione.
  • Il nucleo e l'immagine di una proiezione sono in somma diretta.

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag. 152

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica