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Punto di flesso

punto in cui in una curva o funzione si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità

     Intervallo di concavità

     Intervallo di convessità

     Punto di flesso (cambio di concavità)

Un punto di flesso per una curva o funzione è un punto in cui si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità. La definizione e lo studio dei punti di flesso fa largo uso del calcolo infinitesimale e più precisamente del concetto di derivata.

Indice

DefinizioneModifica

 
Un punto di flesso a tangente orizzontale

Un punto di flesso è definito per curve piane e funzioni reali (definite in un intervallo) in uno dei modi seguenti:

  • un punto di una curva in cui la tangente ad essa attraversa la curva (cioè si incrocia con questa).
  • un punto di una curva in cui la concavità cambia. Immaginando un veicolo che corre lungo la curva, è un punto in cui le ruote davanti cambiano direzione (da sinistra a destra, o viceversa).
  • un punto   nel grafico di una funzione   in cui la derivata seconda cambia segno, manifestando un cambio di concavità.

Il grafico di una funzione è un caso particolare di curva. Tutte queste definizioni sono equivalenti se curve e funzioni sono "sufficientemente regolari", ad esempio se sono differenziabili almeno due volte (condizione necessaria perché si possa parlare di "curvatura" e "derivata seconda").

Il flesso può essere ascendente o discendente:

  • è ascendente quando la funzione passa sopra la retta individuata dalla derivata nel punto di flesso,
  • è discendente quando la funzione passa sotto la retta individuata dalla derivata nel punto di flesso.

FunzioniModifica

Flessi orizzontali, obliqui e verticaliModifica

 
Un punto di flesso a tangente obliqua

Sia   un punto di flesso per una funzione  . Se la tangente nel punto è orizzontale (cioè se  ) allora si parla di flesso orizzontale. Altrimenti si parla di flesso obliquo.

Se la funzione è derivabile due volte in tutti i punti vicini a  , e la derivata prima   tende a infinito in  , si parla di "tangente verticale", e anche in questo caso il punto è di flesso se la derivata seconda cambia segno. Si parla di flesso verticale.

PrecisazioniModifica

Il "cambiare segno" della derivata seconda è da intendersi in un intorno: nel caso della funzione, questa ha flesso in   se esiste un intorno   di   tale che per ogni   di   con   si ha   (rispettivamente  ) e per ogni   di H con   si ha   (rispettivamente  ).

Condizione equivalente (per flessi non verticali) è che la derivata   abbia un massimo oppure un minimo locale in  .

Metodi risolutiviModifica

Per verificare analiticamente se una funzione possiede punti di flesso, sotto l'ipotesi di esistenza della derivata seconda, si ricercano innanzitutto i valori di   per i quali quest'ultima si annulla:

 

La condizione che   è necessaria ma non sufficiente a garantire l'esistenza di un flesso in  , perché la derivata seconda potrebbe non cambiare segno intorno a  : questo accade se la funzione presenta nel punto un contatto "superiore al secondo ordine" con la propria retta tangente.

Quindi si prosegue nell'analisi verificando che la derivata seconda cambi segno. Questo accade precisamente quando la prima derivata non nulla calcolata nel punto   successiva alla seconda è una derivata dispari.

ProprietàModifica

  • Un punto di flesso è un punto stazionario se e solo se è orizzontale.
  • In un punto di flesso la funzione ammette un "contatto almeno del secondo ordine" con la retta tangente.
  • Esistono funzioni che non presentano punti di flesso: ad esempio quelle aventi come diagrammi linee rette, parabole e le funzioni polinomiali date da espressioni come   per   intero positivo o da espressioni riconducibili a queste mediante traslazioni, omotetie, ... .

GeneralizzazioniModifica

Caso complessoModifica

Nel caso di funzioni o curve considerate a variabile complessa, non è possibile dare una definizione del tutto analoga, perché i numeri complessi non hanno un ordinamento, e quindi non ha senso parlare di "cambiamento di segno" della derivata o curvatura.

Per questo motivo solitamente si definisce un punto di flesso per una curva o funzione come un punto in cui la retta tangente ha "molteplicità di intersezione" (cioè "ordine di contatto") con la curva almeno 3. Tale molteplicità è "di solito" 2, quindi i punti di flesso sono punti "eccezionali" della curva.

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

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