Punto periodico

In matematica, un punto periodico con periodo di una funzione è un punto del dominio di in cui si verifica:

dove è definita ricorsivamente da:

Il più piccolo per cui è un punto periodico è detto periodo primitivo o periodo minimo. Se tutti i punti del dominio di una funzione sono periodici con il medesimo periodo , si sta considerando una funzione periodica di periodo . Un punto fisso è un punto periodico con periodo primitivo 1.

Nello studio dei sistemi dinamici, ogni punto di un'orbita periodica è un punto periodico per l'orbita.

Sistemi dinamiciModifica

Un punto periodico di un sistema dinamico è un punto di una traiettoria periodica (chiusa) non costante percorsa dal sistema dinamico. Ovvero, dato un sistema dinamico reale  , con   lo spazio delle fasi e   la sua evoluzione, un punto   è periodico con periodo   se:

 
 

Se   è un punto periodico il relativo insieme limite coincide con la traiettoria periodica alla quale   appartiene.

Punti iperboliciModifica

Se   è una funzione differenziabile, un punto fisso   è detto iperbolico se la matrice jacobiana di   in   non ha autovalori di modulo 0 o 1. Un punto periodico di periodo   è detto punto periodico iperbolico se è un punto fisso iperbolico per  .[1]

Se ogni autovalore   della jacobiana di   calcolata in un punto periodico iperbolico   soddisfa   allora   è detto "pozzo" o attrattore; se ogni autovalore   della jacobiana di   in   soddisfa   allora   è chiamato "sorgente", altrimenti è un punto di sella.

NoteModifica

BibliografiaModifica

  • (EN) L. Markus, Lectures in differentiable dynamics , Amer. Math. Soc. (1980) pp. Appendix II MR0309152 Zbl 0214.50701
  • (EN) D.A. Neumann, "Existence of periodic orbits on 2-manifolds" J. Differential Eq. , 27 (1987) pp. 313–319 MR0482857 Zbl 0337.34041
  • (EN) P.H. Rabinowitz; A. Ambrosetti; I. Ekeland; E.J. Zehnder, Periodic solutions of Hamiltonian systems and related topics , Proc. NATO Adv. Res. Workshop, 1986 , Reidel (1987)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica