Quadrato delle opposizioni

Quadrato delle opposizioni
Nel Diagramma di Venn, le aree nere sono vuote e le aree rosse sono non-vuote.
Le frecce grigio chiare e le aree rosso chiare sono applicate nella logica tradizionale.
Quadrato aristotelico nel Dialectica Ludicra (Agostino Nifo, 1521, Convitto "A. Nifo")

Nella logica aristotelica, il quadrato delle opposizioni è un diagramma che rappresenta i diversi modi in cui ciascuna delle quattro proposizioni del sistema è logicamente correlata ('opposta') alle altre. Il sistema è anche utile per l'analisi del sillogismi, perché serve ad identificare le conversioni logiche consentite da un tipo all'altro.

Pietro Ispano, Eulero (1768), Gergonne (1816), J. A. Faris (1955) analizzarono il sillogismo su basi logiche rigorose, fornendo l'elenco di quelli validi e di quelli non validi.

SommarioModifica

Nella logica classica, una proposizione (in latino: propositio) è l'insieme di parole che costituiscono un'affermazione (enunciativa oratio), non si intende quindi il significato di questa affermazione, come accade nella moderna filosofia del linguaggio. Una proposizione categorica è una proposizione semplice contenente due termini, soggetto e predicato, in cui il predicato è o affermato o negato del soggetto.

Ogni proposizione categorica può essere ridotta ad una delle quattro seguenti forme logiche:

  • La cosiddetta proposizione 'A', l'universale affermativa (universalis affirmativa), la cui forma in latino è 'omne S est P', di solito tradotto come 'ogni S è un P'.
  • proposizione 'E', l'universale negativa (negativa universalis), forma latina 'nullum S est P', di solito tradotto come 'nessun S è P'.
  • la proposizione 'I', la particolare affermativa (particularis affirmativa), latino 'quoddam S est P', di solito tradotto come 'alcuni S sono P'.
  • la proposizione 'O', la particolare negativa (particularis negativa), latino 'quoddam S non est P', di solito tradotto come 'alcuni S non sono P'.

In formato tabellare, abbiamo:

Le Quattro forme di Proposizione secondo Aristotele
Nome Simbolo Latino Italiano
Universale affermativa A Omne S est P. Ogni S è P.      (Tutti gli S sono P.)
Universale negativa E Nullum S est P. Ogni S non è P.      (Nessun S è P.)
Particolare affermativa I Quoddam S est P. Qualche S è P.
Particolare negativa O Quoddam S non est P. Qualche S non è P.

Nei capitoli 6 e 7 del Peri Hermeneias (Περὶ Ἑρμηνείας, latino De interpretatione), Aristotele afferma che tra questi quattro tipi di proposizione esistono relazioni logiche precise. Ad ogni affermazione corrisponde esattamente una negazione, ed ogni affermazione e la sua negazione sono 'opposti' tali che uno di loro deve sempre essere vero, mentre l'altro è falso. Chiama con la parola 'contraddizione' (in latino medievale, contradictio) una coppia di affermazioni, di cui una è positiva e l'altra negativa. Esempi di contraddizioni sono 'ogni uomo è bianco' e 'qualche uomo non è bianco', oppure la coppia 'nessun uomo è bianco' e 'qualche uomo è bianco'.

Le proposizioni dichiarative dette 'contrarie' (medievale: contrariae), sono tali che entrambe non possono, allo stesso tempo, essere vere. Esempi di queste sono l'universale affermativa 'ogni uomo è bianco', e l'universale negativa 'nessun uomo è bianco'. Tuttavia, queste non sono contraddittorie perché entrambe possono essere false. Ad esempio, è falso che ogni uomo è bianco, dal momento che alcuni uomini non sono bianchi. Ma è anche falso che nessun uomo è bianco, dal momento che ci sono alcuni uomini bianchi.

Dal momento che per ogni proposizione dichiarativa esiste una proposizione opposta (ossia contraddittoria) e dato che una contraddittoria è vera quando il suo opposto è falso, ne consegue che gli opposti di contrari (che i medievali chiamano 'subcontrari', subcontrariae) possono essere entrambi veri ma non possono essere entrambi falsi. Poiché i subcontrari sono negazioni di dichiarazioni universali, sono stati chiamati dichiarazioni "particolari" dai logici medievali.

Un'altra opposizione logica, anche se non indicata esplicitamente da Aristotele, è 'alternanza' (alternatio), costituito da 'subalterna' e 'superalterna'. L'alternanza è una relazione tra una proposizione particolare e la corrispondente universale tale che la proposizione particolare è implicata dall'altra (e implicita in essa). Il particolare è il subalterno dell'universale, che si dice superalterno della particolare. Per esempio, se 'ogni uomo è bianco' è vero, il suo contrario 'nessun uomo è bianco' è falso. Pertanto la contraddittoria 'qualche uomo è bianco' è vera. Allo stesso modo l'universale 'nessun uomo è bianco' implica la particolare 'qualche uomo non è bianco'.

In sintesi:

  • le proposizioni dichiarative universali sono contrarie: 'ogni uomo è solo' e 'nessun uomo è solo' non possono essere entrambe vere, anche se una può essere vera e l'altra falsa, ed entrambe possono essere false (se almeno un uomo è solo, oppure se almeno un uomo non è solo).
  • le proposizioni particolari sono subcontrarie. 'Qualche uomo è solo' e 'Qualche uomo non è solo', non possono essere false contemporaneamente.
  • proposizione particolare (di una qualità) è la subalterna di quella universale, relativa alla stessa qualità, che è la superalterna della particolare, dato che nella semantica aristotelica 'ogni A è B' implica 'qualche A è B' e 'nessun A è B' implica 'qualche A non è B'. Si noti che le interpretazioni formali moderne interpretano 'ogni A è B' come 'per ogni x, x è A implica x è B', che non implica che 'qualche x è A'. Si tratta di una questione di interpretazione semantica, però, e non significa, come a volte viene affermato, che la logica aristotelica è errata.
  • L'universale affermativa e il particolare negativo sono contraddittorie. Se qualche A non è B, non ogni A è B. Viceversa, se questo non è accettato nella semantica moderna, si è pensato che se ogni A non è B, A non è certo B. Questa interpretazione ha causato difficoltà (vedi sotto). Mentre Aristotele non rappresenta la particolare negativa come 'alcuni A non sono B', ma come 'non tutti gli A sono B', alcuni commentatori del Peri hermeneias hanno tradotto il particolare negativo come quoddam A non est B, letteralmente 'un certo A non è B', e in ogni notazione della logica medievale è consuetudine rappresentare la proposizione particolare in questo modo.

Queste relazioni divennero la base di uno schema inventato dal filosofo Boezio, e poi usate dai logici medievali per classificare le relazioni logiche. Le proposizioni sono poste nei quattro angoli di un quadrato, e le relazioni tra esse sono rappresentate tracciando altrettante linee, da cui il nome 'quadrato delle opposizioni'.

I Quadrati delle opposizioni nella logica modernaModifica

Nel XIX secolo, George Boole ha sostenuto che l'importazione fosse imposta per entrambi i termini nelle proposizioni (I e O), cosa che consentiva a tutti i termini di quelle universali (A ed E) di ignorare il problema notato per la prima volta da Pietro Abelardo. Questa decisione rese particolarmente facile l'uso dei diagrammi di Venn per i vari termini logici. Il quadrato delle opposizioni, integrato con questa serie di ipotesi nella logica booleana, è spesso chiamato la versione moderna del quadrato di opposizione. In essa, affermazioni A e O sono contraddittorie, come sono E ed I, ma tutte le altre forme di opposizione cessano di esistere; non ci sono contrarie, subcontrarie o subalterne. Così, da un punto di vista moderno, spesso ha senso parlare dell'opposto di un enunciato, piuttosto che insistere come facevano i logici antichi che una asserzione ha molteplici enunciati opposti, che consisterebbero in diversi tipi di opposizione rispetto all'affermazione iniziale.

Il Begriffsschrift di Gottlob Frege presenta anche un quadrato delle opposizioni, organizzato in maniera quasi identica a quello classico, mostrando i contraddittori, subalterni e contrari tra quattro formule costruite a partire da un quantificatore universale, una negazione e una implicazione.

Il quadrato semiotico di Algirdas Julien Greimas è stato derivato dal lavoro di Aristotele.

Esagoni logici ed altri bi-simplessiModifica

Il quadrato delle opposizioni è stata esteso ad un esagono logico che comprende le relazioni intercorrenti fra sei tipi affermazioni. È stato scoperto indipendentemente da Paul Jacoby (1950), Augustin Sesmat (1951) e da Robert Blanché (1953, 1966)[1]. È stato dimostrato che sia il quadrato che l'esagono, seguiti da un "cubo logico", appartengono a una serie regolare di oggetti n-dimensionali chiamata "simplesso bi-logico di dimensione n. " Il modello può essere ulteriormente esteso.[2].

Quadrato delle opposizioni (o quadrato logico) e logica modaleModifica

Il quadrato logico, detto anche quadrato delle opposizioni o quadrato di Apuleio, ha la sua origine nei quattro tipi di enunciato che si possono impiegare nel ragionamento sillogistico: 'Ogni uomo è bianco', affermativa universale e la sua negazione nessun uomo è bianco (o 'alcuni uomini non sono bianchi'), il negativo particolare, da un lato, 'alcuni uomini sono bianchi', la particolare affermativa e la sua negazione 'Nessun uomo è bianco', il negativo universale dall'altra.
Robert Blanché ha pubblicatato nel 1966 Structures intellectuelles (Parigi, Vrin) e da allora molti studiosi pensano che il quadrato logico o quadrato di opposizione in rappresentanza di quattro valori dovrebbero essere sostituiti dall'esagono logico che rappresenta sei valori, una rappresentazione più potente in grado di spiegare più aspetti su logica e linguaggio naturale.

NoteModifica

  1. ^ Alessio Moretti, "Why the Logical Hexagon?", Logica Universalis, 6 (2012), pp. 69-107.
  2. ^ Alessio Moretti, Régis Pellissier.

Voci correlateModifica

BibliografiaModifica

  • Aristotele, Peri hermeneias (de interpretatione), testo greco e traduzione italiana a fronte in Organon, a cura di Maurizio Migliori, Milano, Bompiani, 2016.
  • Apuleio di Madaura, Peri hermeneias (de interpretatione), testo latino e traduzione italiana a fronte in Medioplatonici. Opere, Frammenti, testimonianze, a cura di Emmanuel Vimercati, Milano, Bompiani, 2015.
  • Robert Blanché, “Sur l’opposition des concepts”, Theoria, 19, 1953, pp. 89-130.
  • Robert Blanché, Structures Intellectuelles. Essai sur l’Organisation Systématique des Concepts, Parigi, Vrin,1969.
  • Leonhard Euler, Lettres a une Princesse d'Allemagne, S. Pietroburgo, 1768 (tr. it. Lettere a una principessa tedesca, a cura di Gianfranfo Cantelli, Torino, Boringhieri, 1958).
  • J. A. Faris, "The Gergonne Relations", The Journal of Symbolic Logic, Vol. 20, No. 3 (Sep., 1955), pp. 207-231.
  • Joseph Diaz Gergonne, “Essai de dialectique rationnelle”, Annales de Mathématique, Vol. 7, (1816–17), pp. 189–228.
  • Pietro Ispano, Trattato di logica = Summule logicales, introduzione, traduzione, note e apparati di Augusto Ponzio, Milano, Bompiani, 2004.
  • Paul Jacobi, "A Triangle of Opposites for Types of Propositions in Aristotelian Logic", The New Scholasticism, 24, 1950, pp. 32-56.
  • Augustin Sesmat, Logique II. Les Raisonnements, Parigi, Hermann, 1951.

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