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In matematica, e più precisamente in algebra, il radicale (o nilradicale) di un ideale di un anello commutativo è l'ideale formato da tutti gli elementi dell'anello di cui è possibile trovare una potenza contenuta in o, equivalentemente in un anello commutativo unitario come l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti . Un ideale che coincide con il suo radicale si dice un ideale radicale.

Il radicale di , denotato con o con , è un ideale radicale contenente e, più precisamente, è il più piccolo ideale radicale contenente .

Il radicale dell'ideale dell'anello è detto radicale (o nilradicale) di , e viene spesso indicato con .

Il radicale di un ideale è collegato molto strettamente con la geometria algebrica attraverso il teorema degli zeri (o "Nullstellensatz") di Hilbert, che afferma che, se è un campo algebricamente chiuso, gli ideali radicali dell'anello dei polinomi sono in corrispondenza biunivoca con gli insiemi algebrici dello spazio affine .

Indice

DefinizioneModifica

Sia   un ideale di un anello commutativo  . Il radicale di I è l'insieme

 

  è effettivamente un ideale, in quanto

  per ogni  
se  , allora  

Equivalentemente in un anello commutativo unitario, il radicale di   è l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti  : se infatti  , allora   per ogni ideale primo  , e quindi  ; viceversa, se   per ogni ideale primo contenente  , allora l'insieme degli ideali che contengono   ma non contengono alcuna potenza di   ammette un elemento massimale (grazie al lemma di Krull), che è possibile dimostrare essere primo, contro l'ipotesi che   fosse contenuto in tutti gli ideali primi contenenti  .

In particolare, il nilradicale di  , ovvero il radicale dell'ideale nullo, coincide con l'intersezione di tutti gli ideali primi di  .

ProprietàModifica

La seconda caratterizzazione del radicale è utile per analizzarne il comportamento tramite omomorfismi: se   è un omomorfismo il cui nucleo è contenuto in  , allora  ; in particolare, se   è la proiezione canonica,   è la controimmagine del radicale dell'ideale nullo in  , ovvero del radicale di  . In particolare,   è un ideale radicale se e solo se   è un anello ridotto.

Inoltre, questa caratterizzazione implica che un ideale primo contiene   se e solo se contiene  : ne segue che   (in quanto sono l'intersezione degli elementi dello stesso insieme) e, inoltre, che i chiusi   definiti da   e da   nella topologia di Zariski dello spettro dell'anello coincidono.

Altre proprietà legano il radicale di   alle operazioni tra ideali:

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BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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