Radice dell'unità

In matematica, le radici -esime dell'unità sono tutti i numeri (reali o complessi) la cui -esima potenza è pari a , ovvero le soluzioni dell'equazione:

Le radiciModifica

Nel campo complesso   per ogni intero positivo   esistono esattamente   radici  -esime dell'unità e sono nella forma

 
Radici terze dell'unità, disposte ai vertici di un triangolo
 

dove l'ultima uguaglianza viene dalla formula di Eulero, con   intero,  .

Esse si dispongono nel piano complesso lungo la circonferenza unitaria, ai vertici di un poligono regolare con   lati che ha un vertice in  .

Tra queste radici le uniche reali sono r0 = 1 e, se   (cioè è pari) rk = -1.

Per ogni   l'insieme delle radici  -esime dell'unità, con l'operazione data dalla moltiplicazione usuale sui complessi, forma un gruppo ciclico.

Si dicono radici primitive  -esime dell'unità tutte quelle radici che generano il gruppo delle radici  -esime dell'unità. È facile provare che le radici primitive  -esime dell'unità sono quelle radici  -esime dell'unità tali che:

 .

Il numero di radici primitive ennesime dell'unità è pari al numero   di interi minori di   e coprimi con  . Qui   è la funzione φ di Eulero.

Radici di un numero complesso qualsiasiModifica

Le radici  -esime di un numero complesso   possono essere descritte in modo più agevole rappresentando il numero complesso in forma polare

 

Se   è diverso da zero, le radici  -esime di   sono effettivamente   radici distinte. Una di queste è la seguente

 

Infatti

 

Più in generale, le   radici   di   si ottengono moltiplicando   con le   radici dell'unità. Quindi

 

Queste radici formano sempre i vertici di un poligono regolare di   lati centrato nell'origine. Il raggio del poligono è  .

EsempiModifica

Le radici quarte di un numero reale positivo   sono ottenute moltiplicando la radice quarta reale di   per le quattro radici dell'unità. Le quattro radici quarte di   sono quindi:

 

Le radici  -esime di -1 formano nel piano complesso un poligono regolare di   lati, centrato nell'origine: lo si può ottenere ruotando di   in senso antiorario il poligono formato dalle radici  -esime dell'unità. Il numero   è vertice del poligono quando   è dispari.

Alcune radici di 1Modifica

 
 
 
 
 
 
 
 

Voci correlateModifica

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