Raggio spettrale

In matematica, il raggio spettrale di una matrice o di un operatore lineare limitato è l'estremo superiore della norma del modulo degli elementi del suo spettro. Spesso è denotato con .

In analisi numerica il raggio spettrale viene utilizzato per determinare se un metodo iterativo è convergente verso la soluzione di un problema. È dimostrato infatti che un metodo iterativo per la risoluzione di un sistema lineare (come il metodo di Jacobi o quello di Gauss-Seidel) converge alla soluzione del sistema se e solo se il raggio spettrale della matrice di iterazione è strettamente minore di 1.

MatriciModifica

Siano   autovalori (reali o complessi) di una matrice  . Allora il suo raggio spettrale   è definito come:

 

Un limite superiore per il raggio spettrale è dato dal seguente lemma. Sia   una matrice complessa,   il suo raggio spettrale e   una norma matriciale consistente. Allora per ogni   si ha:

 

Infatti, sia   una coppia autovettore-autovalore relativi ad  . Per la proprietà sub-moltiplicativa della norma matriciale:

 

e dato che   per ogni   si ha:

 

e dunque:

 

come si voleva mostrare.

Il raggio spettrale è strettamente legato al comportamento della convergenza della successione delle potenze di una matrice. In pratica, vale il seguente teorema. Sia   una matrice complessa e   il suo raggio spettrale. Allora   se e solo se  . Inoltre, se   allora   non è limitato per valori di   crescenti.

Per mostrare che   implica  , sia   una coppia autovettore-autovalore relativi ad  . Dato che:

 

si ha:

 

e dato che per ipotesi   si verifica:

 

che implica  . Poiché questo deve essere vero per ogni autovalore, succede che  .

Per mostrare che   implica  , dal teorema di Jordan segue che per ogni matrice a valori nel campo complesso   esistono una matrice non singolare   e una matrice diagonale a blocchi   tali che:

 

con:

 

dove:

 

Si vede facilmente che:

 

e dato che   è diagonale a blocchi:

 

Un noto risultato riguardante la k-esima potenza di un blocco di Jordan   stabilisce che per   si ha:

 

In questo modo, se   allora   per ogni  , sicché:

 

e questo implica:

 

Quindi:

 

D'altra parte, se   allora vi è almeno un elemento in   che non rimane limitato per   crescente, concludendo la dimostrazione.

Formula di GelfandModifica

La formula di Gelfand (1941) stabilisce che per ogni norma matriciale   si ha:

 

In altri termini, mostra come il raggio spettrale di   fornisca l'entità della crescita asintotica della norma di  , cioè:

 

per  .

Per la dimostrazione, si consideri la matrice:

 

Allora:

 

e per il teorema precedente:

 

Per la definizione di limite di una successione, esiste un numero naturale   tale per cui:

 

che implica:

 

o equivalentemente:

 

Considerando ora la matrice:

 

in modo analogo si ha:

 

e per il teorema precedente   non è limitata. Esiste quindi   tale per cui:

 

che implica:

 

o:

 

Considerando:

 

allora per ogni   esiste   tale che per ogni  :

 

dunque:

 

come si voleva mostrare.

La formula di Gelfand conduce direttamente ad un limite per il raggio spettrale del prodotto di infinite matrici. Nello specifico, assumendo che esse commutano reciprocamente:

 

Inoltre, nel caso la norma matriciale sia consistente, grazie al lemma enunciato in precedenza si può rimpiazzare, nella definizione del limite, il limite inferiore sinistro con il raggio spettrale stesso. Quindi per ogni   esiste   tale per cui:

 

e dunque:

 

Operatori lineari limitatiModifica

Per un operatore lineare limitato   e una norma operatoriale  , il raggio spettrale   di   è dato dalla formula di Gelfand.

EsempioModifica

Si consideri la matrice:

 

i cui autovalori sono 5, 10, 10. Per definizione, il suo raggio spettrale è  . Nella tabella che segue sono riportati i valori di   per le quattro norme più utilizzate, ordinati per   crescente. Si nota che a causa della particolare forma della matrice  .

k      
1 14 15.362291496 10.681145748
2 12.649110641 12.328294348 10.595665162
3 11.934831919 11.532450664 10.500980846
4 11.501633169 11.151002986 10.418165779
5 11.216043151 10.921242235 10.351918183
       
10 10.604944422 10.455910430 10.183690042
11 10.548677680 10.413702213 10.166990229
12 10.501921835 10.378620930 10.153031596
       
20 10.298254399 10.225504447 10.091577411
30 10.197860892 10.149776921 10.060958900
40 10.148031640 10.112123681 10.045684426
50 10.118251035 10.089598820 10.036530875
       
100 10.058951752 10.044699508 10.018248786
200 10.029432562 10.022324834 10.009120234
300 10.019612095 10.014877690 10.006079232
400 10.014705469 10.011156194 10.004559078
       
1000 10.005879594 10.004460985 10.001823382
2000 10.002939365 10.002230244 10.000911649
3000 10.001959481 10.001486774 10.000607757
       
10000 10.000587804 10.000446009 10.000182323
20000 10.000293898 10.000223002 10.000091161
30000 10.000195931 10.000148667 10.000060774
       
100000 10.000058779 10.000044600 10.000018232

BibliografiaModifica

  • (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 1115-1116, 2000.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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