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Rango (algebra lineare)

massimo numero di colonne (o righe) linearmente indipendenti in una matrice
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In matematica, in particolare in algebra lineare, il rango (o caratteristica) di una matrice a valori in un certo campo è il massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti in .

Il rango di una matrice può essere formulato in numerosi modi equivalenti, ed è una quantità fondamentale in algebra lineare, utile per risolvere i sistemi lineari e studiare le applicazioni lineari. È comunemente indicato con , , , o , o con le versioni inglesi o .

DefinizioneModifica

Sia   una matrice, a valori in un campo  . Le seguenti definizioni di rango di   sono tutte equivalenti:

  • Il massimo numero di colonne linearmente indipendenti.
  • Il massimo numero di righe linearmente indipendenti.
  • La dimensione del sottospazio di   generato dalle colonne di  .
  • La dimensione del sottospazio di   generato dalle righe di  .
  • La dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare   da   in   seguente:
 

Rango di una trasformazione lineareModifica

Si può attribuire un rango anche a una generica applicazione lineare, definendolo come la dimensione dello spazio vettoriale dato dalla sua immagine.

In un'esposizione con fini tendenzialmente generali una definizione di questo genere ha il vantaggio di essere applicabile senza la necessità di fare riferimento ad alcuna matrice che rappresenti la trasformazione. Quando invece ci si trova in un ambito di applicazioni concrete, il calcolo effettivo del rango di una trasformazione ben raramente si può ottenere evitando di operare su una matrice.

Proprietà del rango di una matriceModifica

In quanto segue,   è una matrice   su un campo  , che descrive una mappa lineare   come sopra.

Proprietà di baseModifica

  • Solo la matrice nulla ha rango 0.
  • Il rango di   è uguale al rango della sua trasposta.
  • Il rango di   è minore o uguale sia di   che di  . In altre parole, è minore o uguale del minimo dei due valori
 

Relazioni fra   ed  Modifica

  •   è iniettiva se e solo se   ha rango   (in questo caso si dice che   ha rango per colonne massimo).
  •   è suriettiva se e solo se   ha rango   (in questo caso si dice che   ha rango per righe massimo).
  • nel caso di una matrice quadrata   (cioè,  ), allora   è invertibile se e solo se   ha rango   (e si dice che   ha rango massimo). Questo accade se e solo se   è biettiva.

Prodotto fra matriciModifica

  • Se   è una matrice  , allora il rango del prodotto   è minore o uguale sia del rango di   che del rango di  . In altre parole:
 
Come esempio del caso "<", si consideri il prodotto
 
Entrambi i fattori hanno rango 1, ma il prodotto ha rango 0.
  • Se   è una matrice   con rango  , allora   ha lo stesso rango di  .
  • Se   è una matrice   con rango  , allora   ha lo stesso rango di  .
  • Il rango di   è uguale a   se e solo se esistono una matrice   invertibile   e una matrice   invertibile   tali che
 
dove   denota la matrice identità  .
  • Dall'ultima proprietà si deduce che il rango di una matrice è un invariante completo per matrici equivalenti destra-sinistra.
  • Diseguaglianza di Sylvester: se A è una matrice m × n e B è una matrice n × k, allora
 

Questa segue dall'applicazione del teorema del rango alla disuguaglianza

 

Teorema del rangoModifica

Il rango di una matrice più la nullità della matrice è uguale al numero di colonne della matrice (questo è il teorema del rango, o "teorema del rango-nullità").

SD-equivalenzaModifica

Il rango è un invariante completo per la equivalenza sinistra-destra tra matrici: due matrici     e   hanno lo stesso rango se e solo se esistono due matrici invertibili   e   tali che  .

CalcoloModifica

Algoritmo di GaussModifica

Il modo più semplice per calcolare il rango di una matrice   è dato dall'algoritmo di Gauss. L'algoritmo trasforma la matrice in una matrice a scalini con lo stesso rango, dato dal numero di righe non nulle, o equivalentemente di pivot. Ciò è vero poiché   , ed eseguire operazioni sulle righe di   equivale a eseguire operazioni sulle colonne di  .

Si consideri ad esempio la matrice  

 

La seconda colonna è il doppio della prima colonna, e la quarta colonna è uguale alla somma della prima e della terza. La prima e la terza colonna sono linearmente indipendenti, quindi il rango di   è due. Questo può essere confermato dall'algoritmo di Gauss, che produce la seguente matrice a scalini  :

 

con due righe non nulle.

Criterio dei minoriModifica

Un altro metodo, in alcuni casi più diretto, sfrutta le proprietà del determinante di una matrice quadrata, e in particolare dei determinanti delle sottomatrici quadrate di  , dette minori. Si basa sul fatto che il rango di   è pari al massimo ordine di un minore invertibile di  .

Ad esempio, la matrice   data sopra ha determinante nullo, e quindi può avere rango al massimo 3. Anche tutti i suoi minori   hanno determinante nullo, e quindi può avere rango al massimo 2. Infine, esiste almeno un minore invertibile di ordine 2, ad esempio quello in basso a destra

 

che ha determinante  . Quindi   ha rango esattamente 2. Questo criterio può essere utile ad esempio per verificare rapidamente se il rango di una matrice è superiore o inferiore a un certo valore.

GeneralizzazioniModifica

Esistono diverse generalizzazioni del concetto di rango per matrici su anelli arbitrari. In queste generalizzazioni il rango colonna, il rango riga, dimensione dello spazio colonna, dimensione dello spazio riga di una matrice possono essere diversi l'uno dall'altro o non esistere.

Un'altra generalizzazione riguarda le matroidi, entità che generalizzano le matrici.

BibliografiaModifica

  • (EN) Werner Greub (1981): Linear algebra, 4th edition, Springer Verlag
  • (EN) Roger A. Horn, Matrix Analysis, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6.
  • (EN) Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [1]

Voci correlateModifica

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