Rappresentazione di interazione

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In meccanica quantistica, la rappresentazione di interazione o rappresentazione di Dirac (interaction picture, in inglese) è una rappresentazione della meccanica quantistica intermedia rispetto alla rappresentazione di Schrödinger e la rappresentazione di Heisenberg. Nella rappresentazione di interazione sia il vettore di stato che gli operatori evolvono nel tempo (seppure in modo diverso).

DefinizioneModifica

Gli operatori e i vettori di stato nella rappresentazione di interazione sono collegati da un cambio di base, dato da una trasformazione unitaria. Per passare alla rappresentazione di interazione si divide l'Hamiltoniana (che è la medesima sia nella rappresentazione di Schrödinger che in quella di Heisenberg, se non c'è una dipendenza esplicita dal tempo) in due parti:

 

la divisione in queste due parti è arbitraria ma è utile scegliere   in modo tale che sia esattamente risolubile e considerare   come una perturbazione.

Se l'Hamiltoniana ha una dipendenza temporale esplicita (come nel caso di un sistema che interagisce con un campo elettrico che varia nel tempo) è utile inserire i termini che presentano dipendenza temporale in  , lasciando   indipendente dal tempo.

Vettori di statoModifica

Un vettore di stato nella rappresentazione di interazione è definito da[1]:

 

(dove   è il vettore di stato nella rappresentazione di Schrödinger.)

OperatoriModifica

Un operatore nella rappresentazione di interazione è definito da:

 

Si noti che   tipicamente non dipenderà da t (come succede per tutti gli operatori nella rappresentazione di Schrödinger), a meno che non ci sia una esplicita dipendenza dal tempo.

Operatore HamiltonianoModifica

Per l'operatore   le rappresentazioni di Schrödinger e quella di interazione coincidono:

 

(questo può essere provato usando il fatto che gli operatori commutano tra loro). Questo particolare operatore quindi si può chiamare   senza ambiguità.

Per l'Hamiltoniana perturbata  , abbiamo:

 

dove l'Hamiltoniana perturbata nella rappresentazione di interazione diventa dipendente dal tempo (a meno che  ).

È possibile ottenere la rappresentazione di interazione anche per una Hamiltoniana dipendente dal tempo  , ma gli esponenziali devono essere sostituiti con i corrispondenti operatori unitari di evoluzione temporale dati da   ovvero, più esplicitamente, da integrali con esponenziali T-ordinati.

Matrice densitàModifica

Si può mostrare che la matrice densità si trasforma nella rappresentazione di interazione come ogni altro operatore. In particolare siano   e   rispettivamente nella rappresentazione di interazione ed in quella di Schrödinger. Se c'è una probabilità   di essere nello stato  , allora

 

Equazioni di evoluzione temporale nella rappresentazione di interazioneModifica

Evoluzione temporale degli statiModifica

Trasformando l'equazione di Schrödinger nella rappresentazione di interazione si ottiene:

 

Questa espressione è nota come equazione di Schwinger-Tomonaga.

Evoluzione temporale degli operatoriModifica

Se l'operatore   non ha dipendenza esplicita dal tempo, allora l'evoluzione temporale per il corrispondente operatore   è data da:

 

nella rappresentazione di interazione gli operatori evolvono nel tempo come nella rappresentazione di Heisenberg con Hamiltoniana  .

Evoluzione temporale della matrice densitàModifica

Trasformando l'equazione di Schwinger-Tomonaga nel linguaggio della matrice densità (o equivalentemente trasformando l'equazione di Von Neumann nella rappresentazione di interazione si ottiene:

 

Uso della rappresentazione d'interazioneModifica

Lo scopo della rappresentazione di interazione è di scaricare tutta la dipendenza temporale dovuta ad H0 sugli operatori, lasciando che sia solo H1, I a determinare l'evoluzione temporale dei ket di stato.

La rappresentazione di interazione è conveniente quando si considerano gli effetti di un piccolo termine di interazione, H1, S, che viene aggiunto all'Hamiltoniana di un sistema analiticamente risolubile o del quale si conoscano le soluzioni, H0, S. Passando alla rappresentazione di interazione è possibile usare la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo per trovare gli effetti di H1, I.

NoteModifica

  1. ^ (EN) The Interaction Picture, note delle lezioni dalla New York University

BibliografiaModifica

  • John S. Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics, 2nd ed., Sausalito, CA, University Science Books, 2000, ISBN 1-891389-13-0.
  • Jun John Sakurai, 2.2, in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, ISBN 88-08-12706-0.

Voci correlateModifica

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