Rappresentazione di interazione

In meccanica quantistica, la rappresentazione di interazione o rappresentazione di Dirac (interaction picture, in inglese) è una rappresentazione della meccanica quantistica intermedia rispetto alla rappresentazione di Schrödinger e la rappresentazione di Heisenberg. Nella rappresentazione di interazione sia il vettore di stato che gli operatori evolvono nel tempo (seppure in modo diverso).

Definizione

Gli operatori e i vettori di stato nella rappresentazione di interazione sono collegati da un cambio di base, dato da una trasformazione unitaria. Per passare alla rappresentazione di interazione si divide l'Hamiltoniana (che è la medesima sia nella rappresentazione di Schrödinger che in quella di Heisenberg, se non c'è una dipendenza esplicita dal tempo) in due parti:

$H=H_{0}+H_{1}$

la divisione in queste due parti è arbitraria ma è utile scegliere $H_{0}$ in modo tale che sia esattamente risolubile e considerare $H_{1}$ come una perturbazione.

Se l'Hamiltoniana ha una dipendenza temporale esplicita (come nel caso di un sistema che interagisce con un campo elettrico che varia nel tempo) è utile inserire i termini che presentano dipendenza temporale in $H_{1}$, lasciando $H_{0}$ indipendente dal tempo.

Vettori di stato

Un vettore di stato nella rappresentazione di interazione è definito da:

$|\psi (t)\rangle _{I}=e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{S}$

(dove $|\psi (t)\rangle _{S}$ è il vettore di stato nella rappresentazione di Schrödinger.)

Operatori

Un operatore nella rappresentazione di interazione è definito da:

$A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.$

Si noti che $A_{S}$ tipicamente non dipenderà da t (come succede per tutti gli operatori nella rappresentazione di Schrödinger), a meno che non ci sia una esplicita dipendenza dal tempo.

Operatore Hamiltoniano

Per l'operatore $H_{0}$ le rappresentazioni di Schrödinger e quella di interazione coincidono:

$H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}$

(questo può essere provato usando il fatto che gli operatori commutano tra loro). Questo particolare operatore quindi si può chiamare $H_{0}$ senza ambiguità.

Per l'Hamiltoniana perturbata $H_{1,I}$, abbiamo:

$H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }$

dove l'Hamiltoniana perturbata nella rappresentazione di interazione diventa dipendente dal tempo (a meno che $[H_{1,s},H_{0,s}]=0$).

È possibile ottenere la rappresentazione di interazione anche per una Hamiltoniana dipendente dal tempo $H_{0,S}(t)$, ma gli esponenziali devono essere sostituiti con i corrispondenti operatori unitari di evoluzione temporale dati da $H_{0,S}(t)$ ovvero, più esplicitamente, da integrali con esponenziali T-ordinati.

Matrice densità

Si può mostrare che la matrice densità si trasforma nella rappresentazione di interazione come ogni altro operatore. In particolare siano $\rho _{I}$ e $\rho _{S}$ rispettivamente nella rappresentazione di interazione ed in quella di Schrödinger. Se c'è una probabilità $p_{n}$ di essere nello stato $|\psi _{n}\rangle$, allora

$\rho _{I}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,I}(t)\rangle \langle \psi _{n,I}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{n,S}(t)\rangle \langle \psi _{n,S}(t)|e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=e^{iH_{0,S}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }$

Equazioni di evoluzione temporale nella rappresentazione di interazione

Evoluzione temporale degli stati

Trasformando l'equazione di Schrödinger nella rappresentazione di interazione si ottiene:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .$

Questa espressione è nota come equazione di Schwinger-Tomonaga.

Dimostrazione

Dalla definizione e tramite la regola di Leibniz per le derivate:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =i\hbar {\biggl [}{\frac {i}{\hbar }}H_{0}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}|\psi _{S}(t)\rangle +e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}{\frac {d}{dt}}|\psi _{S}(t)\rangle {\biggr ]}={\biggl [}-H_{0}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}+e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}H_{0}+e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}H_{1,S}{\biggr ]}|\psi _{S}(t)\rangle =e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}H_{1,S}|\psi _{S}(t)\rangle$

In cui l'ultimo passaggio è dovuto alla commutazione tra gli operatori. Per riportarsi in rappresentazione di interazione, ora:

$e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}H_{1,S}|\psi _{S}(t)\rangle =e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}H_{1,S}e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}|\psi _{S}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .$

Evoluzione temporale degli operatori

Se l'operatore $A_{S}$ non ha dipendenza esplicita dal tempo, allora l'evoluzione temporale per il corrispondente operatore $A_{I}(t)$ è data da:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;$

nella rappresentazione di interazione gli operatori evolvono nel tempo come nella rappresentazione di Heisenberg con Hamiltoniana $H'=H_{0}$.

Evoluzione temporale della matrice densità

Trasformando l'equazione di Schwinger-Tomonaga nel linguaggio della matrice densità (o equivalentemente trasformando l'equazione di Von Neumann nella rappresentazione di interazione si ottiene:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].$

Uso della rappresentazione d'interazione

Lo scopo della rappresentazione di interazione è di scaricare tutta la dipendenza temporale dovuta ad H₀ sugli operatori, lasciando che sia solo H_{1, I} a determinare l'evoluzione temporale dei ket di stato.

La rappresentazione di interazione è conveniente quando si considerano gli effetti di un piccolo termine di interazione, H_{1, S}, che viene aggiunto all'Hamiltoniana di un sistema analiticamente risolubile o del quale si conoscano le soluzioni, H_{0, S}. Passando alla rappresentazione di interazione è possibile usare la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo per trovare gli effetti di H_{1, I}.

Bibliografia

• John S. Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics, 2nd ed., Sausalito, CA, University Science Books, 2000, ISBN 1-891389-13-0.
• Jun John Sakurai, 2.2, in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, ISBN 88-08-12706-0.

Voci correlate

• Notazione bra-ket
• Equazione di Schrödinger
• Teorema di Haag