Rappresentazione di Schrödinger

In meccanica quantistica, uno stato è dato da una combinazione lineare (o sovrapposizione) di autostati. Nella rappresentazione di Schrödinger (in inglese Schrödinger picture) gli stati del sistema evolvono nel tempo. L'evoluzione per un sistema quantistico chiuso è data da un operatore unitario chiamato operatore di evoluzione temporale.

Rappresentazioni alternative sono la rappresentazione di Heisenberg e la rappresentazione di interazione.

L'operatore di evoluzione temporale

Definizione

L'operatore $U(t,t_{0})$ è definito come:

$|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$

Ossia, quando l'operatore agisce sullo stato ket al tempo $t_{0}$ restituisce il ket evoluto al tempo successivo $t$. Per i bra, invece vale:

$\langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})$

Proprietà

Unitarietà

L'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Questo perché la norma dello stato non deve cambiare con il tempo essendo legata alla probabilità, che si deve conservare. Quindi:

$\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$

allora:

$U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I(U(t,t_{0})).$

Riduzione all'identità

$U(t_{0},t_{0})=I$ dove $I$ è l'operatore identità. Quindi:

$|\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$

Composizione

L'evoluzione temporale da $t_{0}$ a $t$ può essere vista come l'evoluzione da $t_{0}$ a $t_{1}$ e quindi da $t_{1}$ a $t$. Pertanto:

$U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})$

Equazione differenziale per l'operatore di evoluzione temporale

Nel seguito si assumerà che $t_{0}=0$ e $U(0t)=U(t)$. L'equazione di Schrödinger si può scrivere come:

$i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi _{e}(0)\rangle =HU(t)|\psi _{e}(0)\rangle$

Con $H$ Hamiltoniana del sistema. Sia $|\psi (0)\rangle$ lo stato al tempo $t=0$ abbiamo che vale:

$i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t)$

ovvero abbiamo scritto che l'operatore di evoluzione temporale rispetta l'equazione di Schrödinger, una soluzione di questa equazione è:

$U(t)=e^{-iHt/\hbar }.$

Dove abbiamo usato anche che il fatto che a $t=0$, $U(t)=I$ si riduce all'identità. Quindi otteniamo:

$|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.$

Si noti che $|\psi (0)\rangle$ è un ket arbitrario. Tuttavia, se partiamo con un ket che sia autostato dell'Hamiltoniana, con autovolare $E$, abbiamo:

$|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.$

Quindi vediamo che gli autostati dell'Hamiltoniana sono stati stazionari, essi ricevono solamente un fattore di fase quando evolvono nel tempo quindi un sistema che si trovi al tempo $t=0$ in un autostato, rimane in quell'autostato.

Se l'Hamiltoniana dipende dal tempo ma Hamiltoniane a tempi diversi commutano allora l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere:

$U(t)=T\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t^{'})\,dt^{'}}\right)\,.$

con $T$ operatore di ordinamento temporale.

Bibliografia

• Principles of Quantum Mechanics by R. Shankar, Plenum Press.
• Jun John Sakurai, 2.2, in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, ISBN 88-08-12706-0.

Voci correlate

• equazione di Hamilton–Jacobi
• Rappresentazione di interazione
• Rappresentazione di Heisenberg