Rappresentazione di Schrödinger

In meccanica quantistica, uno stato è dato da una combinazione lineare (o sovrapposizione) di autostati. Nella rappresentazione di Schrödinger (in inglese Schrödinger picture) gli stati del sistema evolvono nel tempo. L'evoluzione per un sistema quantistico chiuso è data da un operatore unitario chiamato operatore di evoluzione temporale.

Rappresentazioni alternative sono la rappresentazione di Heisenberg e la rappresentazione di interazione.

L'operatore di evoluzione temporaleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore di evoluzione temporale.

DefinizioneModifica

L'operatore   è definito come:

 

Ossia, quando l'operatore agisce sullo stato ket al tempo   restituisce il ket evoluto al tempo successivo  . Per i bra, invece vale:

 

ProprietàModifica

UnitarietàModifica

L'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Questo perché la norma dello stato non deve cambiare con il tempo essendo legata alla probabilità, che si deve conservare. Quindi:

 

allora:

 

Riduzione all'identitàModifica

  dove   è l'operatore identità. Quindi:

 

ComposizioneModifica

L'evoluzione temporale da   a   può essere vista come l'evoluzione da   a   e quindi da   a  . Pertanto:

 

Equazione differenziale per l'operatore di evoluzione temporaleModifica

Nel seguito si assumerà che   e  . L'equazione di Schrödinger si può scrivere come:

 

Con   Hamiltoniana del sistema. Sia   lo stato al tempo   abbiamo che vale:

 

ovvero abbiamo scritto che l'operatore di evoluzione temporale rispetta l'equazione di Schrödinger, una soluzione di questa equazione è:

 

Dove abbiamo usato anche che il fatto che a  ,   si riduce all'identità. Quindi otteniamo:

 

Si noti che   è un ket arbitrario. Tuttavia, se partiamo con un ket che sia autostato dell'Hamiltoniana, con autovolare  , abbiamo:

 

Quindi vediamo che gli autostati dell'Hamiltoniana sono stati stazionari, essi ricevono solamente un fattore di fase quando evolvono nel tempo quindi un sistema che si trovi al tempo   in un autostato, rimane in quell'autostato.

Se l'Hamiltoniana dipende dal tempo ma Hamiltoniane a tempi diversi commutano allora l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere:

 

con   operatore di ordinamento temporale.

BibliografiaModifica

  • Principles of Quantum Mechanics by R. Shankar, Plenum Press.
  • Jun John Sakurai, 2.2, in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, ISBN 88-08-12706-0.

Voci correlateModifica