Intero di Eisenstein
In matematica, un intero di Eisenstein, dal nome del matematico Ferdinand Eisenstein, è un numero complesso della forma:
dove a e b sono numeri interi e
è una radice cubica dell'unità. Gli interi di Eisenstein formano un reticolo triangolare nel piano complesso, a differenza degli interi gaussiani che formano un reticolo rettangolare nel piano complesso.
Proprietà modifica
Gli interi di Eisenstein formano un anello commutativo di numeri algebrici nel campo dei numeri algebrici Q(√−3). Essi formano anche un dominio Euclideo.
Per vedere che gli interi di Eisenstein sono interi algebrici si noti che ogni z = a + bω è una radice del polinomio monico
In particolare, soddisfa l'equazione
Il gruppo delle unità nell'anello degli interi di Eisenstein è un gruppo ciclico formato dalle radici dell'unità seste nel piano complesso. In particolare esse sono:
Questi interi di Eisenstein sono gli unici con valore assoluto unitario.
Il prodotto di due interi di Eisenstein (a + bω) per (c + dω) si scrive esplicitamente come
La norma di un intero di Eisenstein è semplicemente il quadrato del suo modulo, ed è data da
Il coniugato di soddisfa la relazione
Numeri primi di Eisenstein modifica
Se x e y sono interi di Eisenstein, si dice che x divide y se esiste un intero di Eisenstein z tale che
Questo estende la nozione di divisibilità per i numeri interi ordinari. Inoltre si può estendere la nozione di primalità; un intero di Eisenstein non unitario x è un primo di Eisentein se i suoi unici divisori sono nella forma ux e u dove u è una qualunque delle sei unità.
Si può dimostrare che un numero primo ordinario (o primo razionale) della forma può essere fattorizzato in e quindi non primo negli interi di Eisentein. Inoltre, un numero della forma x2 − xy + y2 è un primo razionale se e solo se x + ωy è un primo di Eisentein.
Dominio Euclideo modifica
L'anello degli interi di Eisentein forma un dominio Euclideo la cui norma v è
Questo può essere dimostrato immergendo gli interi di Eisenstein nei numeri complessi: poiché
e poiché
segue che
Voci correlate modifica
Altri progetti modifica
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Collegamenti esterni modifica
- (EN) Eisenstein Integer--from MathWorld, su mathworld.wolfram.com.