Regola della somma

Nell'analisi matematica, la regola della somma è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della somma di una serie di funzioni derivabili.

DefinizioneModifica

La derivata della somma (algebrica) di una serie di funzioni derivabili in x è uguale alla somma delle singole derivate.

 

D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

DimostrazioneModifica

Dimostriamo inizialmente il caso di una somma con solo due addendi.

Applicando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale:

 

si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f(x) e g(x) derivabili in x, che:

 

Riordinando emerge subito che:

 

Siccome per la (1):

 
 

e quindi

 

Il caso generale di n addendi si ottiene ora per induzione dal caso particolare appena dimostrato. cvd.

Linearità della derivataModifica

Più in generale, si può dire che la derivata è un operatore lineare: la derivata di una funzione derivabile moltiplicata per una costante è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione originaria:

 

Dunque un enunciato equivalente ai due precedenti è che la derivata "conserva" le combinazioni lineari:

 

per ogni   reali. Infatti ponendo   si ottiene la prima formula e per   la seconda.

DimostrazioneModifica

Con il rapporto incrementale:

 

Con la regola del prodotto:

 

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica