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Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata -esima del prodotto di funzioni tutte derivabili:

Indice

Enunciato sempliceModifica

La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in   è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:

 

DimostrazioneModifica

Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni   e   derivabili in  :

 

Ora sottraiamo e sommiamo la quantità  :

 

Raccogliendo   e   si ottiene

 

Siccome le funzioni   e   sono, per ipotesi, derivabili in  , quindi è qui anche continua sia  che  . Si conclude che:

 
 

e quindi:

 

come volevasi dimostrare.

La scoperta di LeibnizModifica

La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui   e   sono due funzioni di  . Allora il differenziale di   è

   
 

Siccome il termine   è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che

 

Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale  , si ottiene

 

che corrisponde nella notazione di Lagrange a:

 

Funzioni costantiModifica

Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione   per una costante  :

 

ma  , derivata di una costante, è uguale a   per cui, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi

 

GeneralizzazioniModifica

Prodotto multiploModifica

La regola può essere generalizzata anche per una collezione di   funzioni derivabili,   ,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:

La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.

 

più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni   prive di zeri:

 

Applicazione polinomialeModifica

Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che

 

per   intero positivo:[1]   in fondo è una produttoria di   funzioni uguali tutte uguali a  , per cui per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di   elementi tutti uguali tra loro:

 

ora applicando l'ipotesi induttiva del principio di induzione per   e ricordando che   è uguale a  , possiamo riscrivere:

 

siccome x0 = 1 l'equazione è dimostrata.

Derivate successiveModifica

Le derivate successive  -sime del prodotto di due funzioni è:

 [2]

Il primo elemento è il coefficiente binomiale.

Applicazione polinomialeModifica

Proviamo a derivare due volte la funzione  

    (la derivata di   è sempre uguale a se stessa)
 
 

come prima, per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:

 

NoteModifica

  1. ^ per   non intero e positivo occorre ricorrere ad altre dimostrazioni
  2. ^ Il riferimento apicale essendo tra parentesi non indica un esponente ma l'ordine di derivazione secondo la notazione di Lagrange

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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