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La relazione di Einstein–Smoluchowski è una relazione predittiva sul moto diffusivo di particelle sottoposte a un campo di forze, ricavata in maniera indipendente da Albert Einstein (nel 1905) e Marian Smoluchowski (nel 1906) durante i loro studi sul moto browniano.

Tale relazione può essere espressa nel modo seguente:[1]

dove:

Tale espressione generale può essere espressa in più forme diverse, ognuna specifica per il problema considerato; si giunge alle diverse espressioni della relazione di Einstein–Smoluchowski definendo ogni volta in maniera opportuna la mobilità .

Diffusione attraverso un fluido viscosoModifica

 
Rappresentazione del moto di una particella sferica in un fluido viscoso. Il moto della particella risulta dalla contrapposizione di due forze: la spinta idrostatica   (per il principio di Archimede) e la forza di gravità  .

La relazione di Einstein–Smoluchowski può essere applicata al caso del moto diffusivo di una particella sferica immersa in un fluido viscoso, ottenendo la seguente espressione, detta equazione di Stokes-Einstein (valida per bassi valori del numero di Reynolds):[2]

 

in cui:

  • il termine   indica la mobilità ( ) della particella;
  •   è la viscosità del fluido;
  •   è il raggio della particella sferica considerata.

Tale relazione si ricava sostituendo il valore della forza ottenuta dalla legge di Stokes all'interno della relazione generale di Einstein–Smoluchowski.

L'equazione di Stokes-Einstein non è valida nel caso di meccanismo di trasporto "a salto" (che avviene per gli ioni di piccole dimensioni), in cui le particelle si spostano attraverso difetti reticolari vicini (vacanze o posizioni interstiziali).[3]

Diffusione attraverso un campo elettricoModifica

La relazione di Einstein–Smoluchowski applicata al moto diffusivo di una particella immersa in un campo elettrico assume la seguente forma[4]:

 

dove   è la mobilità elettrica della particella carica e   è la carica elettrica della particella.

Dimostrazione nel caso generaleModifica

Per una dimostrazione della relazione di Einstein-Smoluchowski si veda ad esempio Kubo[5].

Si consideri un insieme di particelle soggette a una forza conservativa (ad esempio una forza di Coulomb)  , funzione della posizione  , generata da un potenziale  . Si assuma che ogni particella reagisca all'azione di questa forza muovendosi con una velocità   (si noti che nel caso più generale il coefficiente di mobilità è a sua volta funzione della posizione). Si assuma inoltre che il numero di particelle sia sufficientemente elevato da poter essere modellizzate, da un punto di vista macroscopico, con una funzione densità  . Dopo un certo tempo, in assenza di altri fenomeni, il sistema raggiungerà un equilibrio: le particelle si accumuleranno nelle regioni a minore energia potenziale ma continueranno a muoversi disordinatamente in risposta a processi diffusivi a cui sono sottoposte. All'equilibrio il flusso netto di particelle è nullo in ogni punto dello spazio: in questa condizione la corrente di trasporto (in inglese drift current, cioè il processo generato dalla forza   che fa muovere le particelle verso zone a minore energia) e il processo di diffusione (diffusion current) sono perfettamente bilanciati.

Il flusso netto di particelle dovuto alla corrente di trasporto è

 

la cui interpretazione è che il numero di particelle che attraversano una data posizione è uguale alla densità di particelle moltiplicata per la loro velocità media.

Il flusso netto di particelle dovuto alla corrente di diffusione è invece, dalla legge di Fick,

 

dove il segno negativo significa che le particelle si muovono da zone a concentrazione maggiore verso zone a concentrazione minore.

In condizioni di equilibrio  . Inoltre, per un insieme di particelle non interagenti la densità di equilibrio   è funzione soltanto del potenziale  , cioè due posizioni aventi stessa   avranno anche la stessa densità   (si veda l'esempio sulla distribuzione di Maxwell-Boltzmann discusso di seguito). Questo legame fornisce, applicando la regola della catena,

 

All'equilibrio dunque vale:

 

Dal momento che questa relazione vale per ogni punto   del dominio considerato, essa implica la relazione di Einstein-Smoluchowski nel caso generale:

 

Il legame tra   e   per particelle classiche può essere modellata mediante la statistica di Maxwell-Boltzmann

 

dove   è una costante legata al numero totale di particelle. Sotto questa ipotesi allora:

 

che, inserita nella relazione precedentemente dimostrata, fornisce

 

che corrisponde alla relazione di Einstein-Smoluchowski classica.

NoteModifica

  1. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "Einstein equation"
  2. ^ http://tnt.phys.uniroma1.it/twiki/pub/TNTgroup/AngeloVulpiani/brown.pdf
  3. ^ Bianchi, p. 77.
  4. ^ Van Zeghbroeck, 2.7, su Principles of Semiconductor Devices, ecee.colorado.edu. URL consultato il 21 giugno 2016.
  5. ^ Kubo, R., The fluctuation-dissipation theorem, in Rep. Prog. Phys., vol. 29, 1966, pp. 255–284, DOI:10.1088/0034-4885/29/1/306.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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