Rendita finanziaria

tipo di pagamento
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Una rendita finanziaria è una successione di importi, chiamate rate, da riscuotere (o da pagare) in epoche differenti, chiamate scadenze, a intervalli di tempo determinati.

Una rendita S è quindi individuata da tre argomenti:

 : rata da riscuotere (o da pagare) alla scadenza

 : scadenza, cioè il momento all'interno del k-esimo intervallo in cui viene riscossa (o pagata) la rata

: numero di rate totali

e si può indicare con dove

Classificazione delle rendite

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Una rendita può essere classificata in base alle caratteristiche dei suoi argomenti:

  : numerosità delle rate

  • Se n è un numero finito la rendita si chiama temporanea
    • Se n è stabilito a priori ed è indipendente da qualsiasi evento la rendita temporanea si dice certa
    • Se invece n non è stabilito a priori e dipende, ad esempio, dall'esistenza in vita di una persona si dice vitalizia
  • Se n è infinito la rendita si chiama perpetua

  : periodicità e scadenza

  • Se le scadenze sono separate da un intervallo di tempo uguale la rendita è periodica e la quantità   corrisponde a un periodo:
    • Se p = 1 mese la rendita è detta mensile, se p = 1 anno la rendita è detta annuale, se p = 3 mesi la rendita è detta trimestrale e così via.
  • Se la scadenza è fissata all'inizio di un intervallo di tempo la rendita è anticipata
  • Se la scadenza è fissata al termine di un intervallo la rendita è posticipata

  : decorrenza

  • Se la prima rata viene riscossa (o pagata) all'inizio la rendita è detta immediata.
 
  • Se la prima rata viene riscossa (o pagata) a cominciare da un certo istante   successivo a  , la rendita si dice differita di un periodo p.
Esempio:
 
 
È evidente che una rendita anticipata differita di un periodo p coincide con una rendita posticipata differita di un periodo p-1
  • Una rendita può essere infine a rata costante se tutte le rate non nulle hanno lo stesso valore, oppure a rata variabile se non hanno lo stesso valore

Valore di una rendita

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Il valore   di una rendita finanziaria all'istante   è la somma dei montanti delle rate con scadenze antecedenti a  , dei valori attuali delle rate con scadenze successive a  , ed eventualmente della rata   con scadenza  

 

Nel caso più generale quindi:

 

dove

  è il fattore di montante e   è il fattore di sconto nel regime di capitalizzazione prescelto.

Valore attuale di una rendita

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Il valore attuale di una rendita è il valore   calcolato al tempo   ed equivale alla somma dei valori attuali delle singole rate della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

Regime di capitalizzazione composta

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Nel caso di una rendita periodica posticipata immediata di n rate costanti, nel regime di sconto composto in cui il tasso di interesse, per un periodo  , è  , il fattore di sconto per un periodo p è

 

quindi

 

essendo la rendita posticipata immediata e a rata costante:   e  

 

osservando che

  è una serie geometrica di ragione  

e sapendo che per una serie geometrica

 

Si consideri infatti una rendita periodica posticipata di n rate unitarie, quindi con  ; il suo valore attuale si indica con   (da leggersi come a posticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

 

quindi il valore attuale   di una generica rendita di n rate   costanti e posticipate si può scrivere

 

Si consideri ora il caso di una rendita, sempre periodica e unitaria, ma questa volta con n pagamenti periodali anticipati; il suo valore attuale si indica con   (da leggersi come a anticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

 

quindi il valore attuale   della generica rendita di n rate   costanti e anticipate si può scrivere

 

Formule ed esempi

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Valore attuale di una rendita posticipata a rate costanti al tasso i per n anni:

 

Ad esempio calcolare il valore attuale di una rendita posticipata di 900 euro annue, che dura 17 anni, al tasso 7,15%. Utilizzando il software wxMaxima si ha:

i:0.0715;
n:17;
R:900;
V(t_0) =R*(1-(1+i)^-n)/i;

(i)	0.0715
(n)	17
(R)	900
V(t_0)=8696.338623521242

Rata costante di una rendita posticipata per n anni al tasso i con valore attuale V(t_0):

 

Numero di rate di una rendita posticipata al tasso i con rata R e valore attuale V(t_0):

 

Tasso di interesse di una rendita posticipata con rata R e valore attuale V(t_0) per n anni:

Ad esempio il valore attuale, calcolato un anno prima della scadenza della prima rata, di una rendita costituita da 9 rate, ciascuna di 300, è di 1929,868. Determinare quale tasso è stato usato per il calcolo del valore attuale. Utilizzando il software wxMaxima si ottiene un tasso del 7,3% :

V:1929.868;
n:9;
R:300;
to_poly_solve([V =R*(1-(1+r)^-n)/r], [r]);

%union([r=0.07300001206811242],[r=-0.7835774717891064*%i-0.9178453579311091],[r=-0.6467956796649063*%i-1.411920484012052],[r=-0.5890569779386072*%i-0.4132408829284167],[r=-0.2486807974679337*%i-1.715767757965928],[r=0.2486807974679337*%i-1.715767757965928],[r=0.5890569779386072*%i-0.4132408829284167],[r=0.6467956796649063*%i-1.411920484012052],[r=0.7835774717891064*%i-0.9178453579311091])

Valore attuale di una rendita anticipata a rate costanti:

 

Ad esempio calcolare il valore attuale di una rendita annua, che ha 10 rate anticipate ciascuna di 1680 al 7%. Utilizzando il software wxMaxima si ha :

i:0.07;
n:10;
R:1680;
V(t_0) =R*(1+i)*(1-(1+i)^-n)/i;

(i)	0.07
(n)	10
(R)	1680
V(t_0)=12625.59017798044

Rata costante di una rendita anticipata per n anni al tasso i con valore attuale V(t_0):

 

Numero di rate di una rendita anticipata al tasso i con rata R e valore attuale V(t_0):

 

Montante di una rendita

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Il montante di una rendita è il valore   calcolato al tempo   ed equivale alla somma dei montanti delle singole rate calcolati al termine della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

Regime di capitalizzazione composta

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Nel caso del montante di una rendita periodica anticipata immediata di n rate, nel regime a interesse composto in cui il tasso di interesse, per un periodo  , è  , il fattore di montante è

 

quindi

 

essendo la rendita anticipata immediata e a rata costante l'ultima rata viene pagata all'istante  , quindi  , e  

 

osservando che

  è una serie geometrica di ragione  

e sapendo che per una serie geometrica

 

Si consideri infatti una rendita periodica anticipata di   rate unitarie, quindi con  ; il suo montante si indica con   (da leggersi come s anticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

 

quindi il montante   di una generica rendita di   rate   costanti e anticipate si può scrivere

 

Si consideri ora il caso di una rendita, sempre periodica e unitaria, ma questa volta con   pagamenti periodali posticipati; il suo montante si indica con   (da leggersi come s posticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

 

quindi il montante   della generica rendita di   rate   costanti e posticipate si può scrivere

 

Formule ed esempi

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Montante di una rendita posticipata a rate costanti al tasso i per n anni:

 

Ad esempio calcolare il montante di una rendita posticipata di 225 euro annue, che dura 12 anni, al tasso 5,15%. Utilizzando il software wxMaxima si ha :

i:0.0515;
n:12;
R:225;
V(t_n) =R*((1+i)^n-1)/i;

(i)	0.0515
(n)	12
(R)	225
V(t_n)=3612.606469918203

Rata costante di una rendita posticipata per n anni al tasso i con montante V(t_n):

 

Numero di rate di una rendita posticipata al tasso i con rata R e montante V(t_n):

 

Tasso di interesse di una rendita posticipata con rata R e montante V(t_n) per n anni:

Ad esempio il montante, calcolato un anno prima della scadenza della prima rata, di una rendita costituita da 12 rate, ciascuna di 225 euro, è di 3612,606. Determinare quale tasso è stato usato per il calcolo del montante. Utilizzando il software wxMaxima si ottiene un tasso del 5,15% ::

V:3612.606;
n:12;
R:225;
to_poly_solve([V =R*((1+r)^n-1)/r], [r]);

%union([r=0.05149997702944824],[r=-1.296632309996783*%i-1.253146252056517],[r=-1.205001868082515*%i-0.5451415647133405],[r=-0.9856479822954306*%i-1.908202369486541],[r=-0.7441198833435381*%i-0.0208893551040657],[r=-0.3668230430389623*%i-2.298370447418818],[r=0.3668230430389623*%i-2.298370447418818],[r=0.7441198833435381*%i-0.0208893551040657],[r=0.9856479822954306*%i-1.908202369486541],[r=1.205001868082515*%i-0.5451415647133405],[r=1.296632309996783*%i-1.253146252056517])

Montante di una rendita anticipata a rate costanti:

 

Ad esempio calcolare il montante di una rendita annua, che ha 13 rate anticipate ciascuna di 340 euro al 6%. Utilizzando il software wxMaxima si ha :

i:0.06;
n:13;
R:340;
V(t_n) =R*(1+i)*((1+i)^n-1)/i;

(i)	0.06
(n)	13
(R)	340
(%o12)	V(t_n)=6805.12241594175

Rata costante di una rendita anticipata per n anni al tasso i con montante V(t_n):

 

Valore attuale di una rendita con rate variabili

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Nelle sezioni precedenti si è visto che se i pagamenti sono periodici (annui, semestrali, ecc.) e le rate costanti è possibile ricavare formule in forma chiusa per il valore attuale e il montante di una rendita. Tuttavia, nella realtà, le rate possono variare. Se le rate sono variabili ma si ha periodicità delle scadenze e se le rate variano in modo "regolare", si possono ancora ricavare delle formule chiuse. Qui di seguito vengono proposti alcuni casi notevoli, nell'ipotesi di pagamenti annui posticipati.

Valore attuale di una rendita con rate variabili in progressione aritmetica

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Una rendita annua posticipata a rate variabili, con rate in progressione aritmetica di ragione   e prima rata   (con la condizione che  ), ha valore attuale

 

dove  .

Allora si ha:  

La sommatoria tra parentesi del primo addendo è il valore attuale di una rendita annua unitaria posticipata che già conosciamo. Sviluppiamo la sommatoria tra parentesi del secondo addendo. Scriviamo:

 

 

Consideriamo la differenza tra la seconda e la prima identità:

   

Quindi il valore attuale è:

 

Nel caso la rendita fosse perpetua, passando al limite si ha:

 

Valore attuale di una rendita con rate variabili in progressione geometrica

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Una rendita annua posticipata di rata  , variabile in progressione geometrica di ragione  , ha valore attuale:

 

Osserviamo che, se  , allora:

 

Se invece  , allora - raccogliendo   a fattor comune - si ha:

 

In parentesi riconosciamo la somma di   termini in progressione geometrica di ragione  , e quindi:

 

Nel caso la rendita fosse perpetua, passando al limite si ha:

 

dove  

Altri progetti

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Collegamenti esterni

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  • (EN) Jan Pen, Kenneth E. Boulding, Hans Otto Schmitt e Paul Lincoln Kleinsorge, rent, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
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