Riordinamento radiale

In analisi funzionale, una branca della matematica,il riordinamento monotono viene utilizzato quando, data una funzione generica dello spazio , può essere comodo riuscire ad associarne una nuova avente stessa norma, ma più regolare, in particolare a simmetria radiale.

Funzione non simmetrica e sua riarrangiata con la stessa norma

DefinizioneModifica

InsiemiModifica

Dato un insieme misurabile  , il suo riordinamento radiale   in   è dato da:

 

dove   è il volume della sfera unitaria e   il volume di  . Si tratta quindi di una sfera centrata nell'origine che ha lo stesso volume di  .

FunzioniModifica

Il riordinamento radiale di una funzione misurabile non negativa   i cui insiemi di livello hanno misura finita è:

 

Ovvero, il valore di   fornisce il valore   tale per cui il raggio del riordinamento radiale di   è  . Questa definizione è motivata dal fatto che l'identità:

 

è valida per ogni funzione non-negativa  ; quindi la definizione data è l'unica che implica  .

ProprietàModifica

  • Simmetria radiale: è evidente dalla definizione, infatti se   allora  .
  • Monotonia: è evidente dalla definizione, infatti se   allora:
 

TeoremiModifica

Stima di decrescitaModifica

Se   è lipschitziana con costante di Lipschitz L e  , allora vale la stima di decrescita per la misura dei sopralivelli:

 

DimostrazioneModifica

Il numero   rappresenta la misura dell'insieme  , cioè:

 

La   è lipschitziana, si può quindi usare la formula di coarea (seconda versione) con le funzioni   e  , e si ottiene:

 

Ricordando che   e che il bordo di   è contenuto nell'insieme  , per cui se si usa la disuguaglianza isoperimetrica si ha che:

 :

La funzione   è monotona decrescente ed è una funzione semicontinua inferiormente, per cui passando all'estremo inferiore si ottiene:

 :

Mettendo insieme le relazioni trovate:

 

e si trova così la stima cercata.

Lipschitzianità del riordinamentoModifica

Sia   tale che  . Se   è Lipschitziana con costante di Lipschitz   allora anche la   è Lipschitziana con la stessa costante di Lipschitz.

Norma   del riordinamentoModifica

Se   è una funzione appartiene allo spazio  , anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma è la stessa. Quindi:

 

DimostrazioneModifica

Esprimendo il calcolo della norma di   in funzione della misura dei sopralivelli:

 

Lo stesso calcolo vale per la norma di  .

Norma   del riordinamentoModifica

Vale la disuguaglianza di Pólya-Szegő, per cui se una funzione appartiene allo spazio   anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma del riordinamento è minore o uguale alla norma della funzione.

BibliografiaModifica

  • G.Talenti, Best Constant in Sobolev Inequality, Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp.353-376.
  • (EN) Srinivasan Kesavan, Symmetrization & applications, Hackensack (New Jersey), World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006, ISBN 981-256-733-X.
  • (EN) Bernhard Kawohl, Rearrangements and convexity of level sets in PDE, Berlino, Springer-Verlag, 1985, ISBN 3-540-15693-3.
  • (FR) Jacqueline Mossino, Inégalités isopérimétriques et applications en physique., Parigi, Hermann, 1984, ISBN 2-7056-5963-3.

Voci correlateModifica

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