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Rivestimento (topologia)

(Reindirizzamento da Rivestimento universale)

DefinizioniModifica

Un rivestimento è una funzione continua e suriettiva p : YX fra spazi topologici con la proprietà che ogni punto x in X ha un intorno aperto U la cui controimmagine in Y è unione di aperti disgiunti, tali che restringendo la p su ciascuno di questi si ottiene un omeomorfismo su U. Un tale aperto U è detto uniformemente rivestito.

Si dice anche che lo spazio Y riveste X tramite la mappa p. Generalmente per semplicità si chiede anche che X e Y siano entrambi connessi per archi, ed è quanto supposto in questa trattazione.

La controimmagine di un punto x è la fibra su x. La cardinalità della fibra non dipende dal punto x, ed è il numero di fogli o grado del rivestimento: può essere finito o infinito.

EsempiModifica

Consideriamo la circonferenza unitaria S1 in R2. Allora la funzione p : RS1 data da

p(t) = (cos(t), sen(t))

è un rivestimento con un numero infinito di fogli.

Denotiamo quindi con C* il piano complesso senza l'origine 0. La mappa p : C*C* data da

p(z) = zn

è un rivestimento a n fogli per ogni numero naturale positivo n.

ProprietàModifica

Omeomorfismo localeModifica

Un rivestimento è un omeomorfismo locale. Non è vero il viceversa in generale: ad esempio, in un omeomorfismo locale la cardinalità della fibra su x può cambiare al variare di x.

Una definizione alternativa di rivestimento è la seguente: p: YX è un rivestimento se

  • è un omeomorfismo locale;
  • vale la proprietà di sollevamento dei cammini: se γ è un cammino in X (cioè una mappa continua dall'intervallo unitario [0,1] in X) e y è un punto della fibra di γ(0) allora esiste un unico cammino ρ in Y che solleva γ (cioè p o ρ = γ) partendo da y (cioè ρ(0) = y). La curva ρ è il sollevamento di γ.

Gruppi fondamentaliModifica

Un rivestimento p: YX induce una funzione iniettiva sui gruppi fondamentali p*: π1(Y,y) → π1(X,x), per ogni x e y tali che x = p(y).

Il numero di fogli di un rivestimento è pari all'indice del sottogruppo p*1(Y,y)) dentro π1(X,x).

Se X è uno spazio topologico localmente semplicemente connesso (e tutti gli spazi topologici "buoni" soddisfano questa proprietà), per ogni sottogruppo H di π1(X,x) esistono uno spazio Y ed un rivestimento p:YX tali che l'immagine di p*: π1(Y,y) → π1(X,x) sia proprio H. Tale rivestimento è unico a meno di isomorfismi (definiti opportunamente).

Gruppi di omotopiaModifica

Un rivestimento induce degli isomorfismi sui gruppi di omotopia superiori al primo. Se ne deduce quindi ad esempio che

πn(S1) = πn(R) = {e}

per ogni n > 1, poiché R è contrattile.

Strutture locali ereditateModifica

Ogni struttura locale di X è ereditata tramite p dallo spazio Y che lo riveste:

Grado e compattezzaModifica

Se Y è compatto, allora il rivestimento ha grado finito. Questo perché la controimmagine di un punto di X è un insieme discreto in Y, ed un insieme discreto e chiuso in un compatto è finito.

Più in generale, se X è compatto, allora Y è compatto se e solo se il rivestimento ha grado finito.

Caratteristica di EuleroModifica

 
Uno spazio topologico che non ha rivestimento universale

Il grado d di un rivestimento p: YX e la caratteristica di Eulero dei due spazi topologici sono collegati dalla relazione seguente:

χ(Y) = dχ(X).

Rivestimento universaleModifica

Nella trattazione che segue, si suppone per semplicità che gli spazi cui si fa riferimento siano connessi per archi e localmente semplicemente connessi: queste due proprietà molto naturali sono soddisfatte da tutti gli spazi più studiati in topologia. Uno spazio che non le soddisfa contiene almeno un punto con degli intorni molto complicati, come ad esempio l'oggetto mostrato qui a destra.

Un rivestimento p:YX in cui Y è semplicemente connesso è detto un rivestimento universale di X. Le proprietà elencate precedentemente implicano che uno spazio topologico X ha un unico rivestimento universale (a meno di isomorfismi definiti opportunamente), e che il numero di fogli di p è pari alla cardinalità di π1(X,x).

L'esempio RS1 descritto sopra è un rivestimento universale. L'altro esempio C*C* invece non lo è, perché C* non è semplicemente connesso.

Altri esempiModifica

ToroModifica

La mappa p: R2S1 x S1 data da

p(x, y) = (cos(x), sen(x), cos(y), sen(y))

è un rivestimento con infiniti fogli sul toro, che è omeomorfo al prodotto S1 x S1.

Spazio proiettivo realeModifica

La mappa p: SnPn(R) data da

p(x0, ..., xn) = [x0, ..., xn]

dalla sfera unitaria in Rn+1 allo spazio proiettivo reale, entrambi di dimensioni n, è un rivestimento con due fogli. Per n>1 la sfera è semplicemente connessa, e quindi è il rivestimento universale dello spazio proiettivo.

Superfici e varietà non orientabiliModifica

Ogni varietà non orientabile V è rivestita da una varietà orientabile, tramite un rivestimento doppio (cioè di grado 2). La varietà orientabile ha quindi caratteristica di Eulero doppia di quella di V.

In particolare, ogni superficie nello spazio avente una sola faccia (unilatera) è rivestita da una superficie con due facce (bilatera). Ad esempio, il nastro di Möbius è rivestito da un anello.

Molte superfici non orientabili non sono visualizzabili dentro lo spazio, mentre il loro rivestimento orientabile lo è: ad esempio la bottiglia di Klein è rivestita dal toro, ed Il piano proiettivo reale, per quanto appena visto, è rivestito dalla sfera.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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