Rotazione nel piano complesso

Per studiare la rotazione nel piano complesso si possono distinguere due casi, dipendentemente dal fatto che il centro di tale rotazione sia rappresentato dall'origine del sistema di riferimento o da un qualsiasi altro punto.

Rotazione di centro l'origine e angolo datoModifica

DefinizioneModifica

Sia   un numero complesso di modulo unitario:

 

e sia   un qualsiasi numero complesso

 

La rotazione di centro l'origine degli assi   e di ampiezza  ,  , è la trasformazione:

 

che associa al punto  , corrispondente di  , il punto  , corrispondente del numero complesso  , di modulo pari al modulo di  ,  , e di argomento pari a  .

Si osservi che, nella definizione appena data,   può assumere qualsiasi valore reale, incluso lo   e i valori negativi.

 

Gruppo circolareModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo circolare.

Dalla definizione, data, segue che le rotazioni del piano complesso formano un gruppo abeliano rispetto alla composizione.

I numeri complessi di modulo unitario formano un gruppo moltiplicativo, chiamato gruppo circolare. È facile dedurre che esso è algebricamente isomorfo al gruppo delle rotazioni nel piano complesso: basta associare a ogni complesso unitario   del gruppo circolare, la rotazione complessa definita da  .

ProprietàModifica

Infatti:

 

Passando in coordinate cartesiane e ricordando la forma delle equazioni che determinano la rotazione di centro l'origine degli assi cartesiani e angolo  :

 

Si ha che:

moltiplicare il numero complesso   per un numero complesso   di modulo unitario, equivale ad applicare nel piano al punto   una rotazione avente come centro l'origine degli assi e angolo  , con  .

Notiamo che:

  • Se l'angolo di rotazione è pari a  , o a un multiplo di  , la relativa rotazione lascia invariato ogni punto del piano complesso: si tratta della trasformazione identica
  • La rotazione corrispondente a   +   equivale alla composizione delle due rotazioni individuate da   e  
  • La rotazione corrispondente a  , è l'inversa della trasformazione corrispondente a  : la loro composizione dà infatti la trasformazione identica.

Le tre proprietà elencate permettono di dedurre che l'associazione di un numero reale ad una rotazione, definisce un'applicazione lineare tra il gruppo abeliano dei numeri reali (con l'usuale operazione di somma) e il gruppo delle rotazioni del piano complesso (dotato dell'operazione di composizione tra funzioni). L'applicazione lineare così definita non è un omomorfismo, difettando infatti della non biunivocità.

EsempioModifica

La trasformazione che ammette come scrittura complessa

 

è una rotazione attorno all'origine degli assi di angolo  .

Infatti:

 

quindi

 

è una rotazione attorno all'origine degli assi cartesiani di angolo  .

Casi particolariModifica

  • Se l'angolo di rotazione è pari a  , allora
 

quindi: la rotazione di centro l'origine degli assi   e di ampiezza   coincide con la moltiplicazione per l'unità immaginaria  :

 

Infatti, indicando con

 

si ha che:

 
  • Se l'angolo di rotazione è pari a  , allora
 

quindi la rotazione di centro l'origine degli assi   e di ampiezza   è data da:

 

Infatti, indicando con

 

si ha che:

 

Quindi la rotazione di centro l'origine degli assi   e di ampiezza   equivale alla simmetria rispetto all'origine.

  • Se l'angolo di rotazione è pari a  , allora
 

quindi la rotazione di centro l'origine degli assi   e di ampiezza   è:

 

Infatti, indicando con

 

si ha che:

 

Rotazione (caso generale)Modifica

Sia   il punto corrispondente al numero complesso  , e sia   un numero complesso di modulo unitario.

La rotazione di centro   e angolo  ,   è data da:

 

con  .

 

Infatti se moltiplicare il numero complesso   per un numero complesso   di modulo unitario, equivale ad applicare al punto   una rotazione di centro l'origine degli assi e angolo  ,  , considerando il punto   come nuova origine degli assi, si ha che  , quindi  .

Ponendo   si ottiene il caso generale della rotazione.

EsempioModifica

Per determinare la scrittura complessa della rotazione di centro   e angolo   si osservi che il centro della rotazione   è il punto associato al numero complesso  .

Quindi, ricordando che  , si ha che

 

cioè la trasformazione data da:

 

Voci correlateModifica

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