Secante (trigonometria)

funzione trigonometrica

In matematica, la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia:[1]

Grafico della funzione secante

Definizione geometricaModifica

 
Fig. 1 - Geometricamente, la secante può essere vista anche come l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dell'angolo

Data una circonferenza unitaria di centro  , l'angolo al centro   tale che  , con  , individua su questa un punto  . La retta tangente alla circonferenza in   interseca l'asse   nel punto  ; si definisce secante di   l'ascissa del punto   così definito (vedi Fig. 2).

In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto adiacente[2]: da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora, si ottengono le formule:

 
 

comunque deducibili dalla definizione di secante.[3]

La funzione secante è definita su tutto   tranne che nei punti  , con  , mentre la sua immagine è tutto l'insieme   escluso l'intervallo  .

 

DimostrazioneModifica

 
Fig. 2 - Relazione tra secante, secante esterna, cosecante e cosecante esterna

Dimostriamo che  .

Il triangolo   è simile al triangolo   (vedi fig.1).

Per il teorema di Talete vale la proporzione:

 

Ora

 
 
 
 

Quindi:

 

da cui

 

Calcolo dell'insieme di definizione e dell'immagineModifica

I punti   devono essere esclusi dal dominio, poiché la funzione   si trova al denominatore e si annulla in questi punti. Per quanto riguarda l'immagine, invece, si ha

 

ossia

 

Pertanto

 

ossia

 

Valori notevoliModifica

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che  :[1]

  in radianti 0                  
  in gradi 15° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360°
                     

DerivateModifica

La derivata prima della secante, e le sue derivate successive, si ottengono ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente[4]:

 
 

Relazione trigonometrica secante-cosecanteModifica

Conseguenza della prima relazione fondamentale della trigonometria   è la seguente relazione tra secante e cosecante:

 

per ogni   con  .

La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per  .

NoteModifica

  1. ^ a b Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.182
  2. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6. p.182
  3. ^  
  4. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0. p. V17

BibliografiaModifica

  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6.
  • Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.

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