Secante (trigonometria)

In matematica, la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia:

Grafico della funzione secante

$\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}.$

Definizione geometrica

Fig. 1 - Geometricamente, la secante può essere vista anche come l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dell'angolo

Data una circonferenza unitaria di centro $O$, l'angolo al centro $\theta$ tale che $\theta \not ={\frac {\pi }{2}}+k\pi$, con $k\in \mathbb {Z}$, individua su questa un punto $C$. La retta tangente alla circonferenza in $C$ interseca l'asse $x$ nel punto $B$; si definisce secante di $\theta$ l'ascissa del punto $B$ così definito (vedi Fig. 2).

In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto adiacente: da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora, si ottengono le formule:

$\sec ^{2}\theta =1+\tan ^{2}\theta ,$

$\sec \theta ={\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }},$

comunque deducibili dalla definizione di secante.

La funzione secante è definita su tutto $\mathbb {R}$ tranne che nei punti $x={\frac {\pi }{2}}+k\pi$, con $k\in \mathbb {Z}$, mentre la sua immagine è tutto l'insieme $\mathbb {R}$ escluso l'intervallo $\left[-1,1\right]$.

$\sec :\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}\rightarrow \mathbb {R} \setminus \left(-1,1\right)$

Dimostrazione

Fig. 2 - Relazione tra secante, secante esterna, cosecante e cosecante esterna

Dimostriamo che $\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}$.

Il triangolo ${\overset {\vartriangle }{AOG}}$ è simile al triangolo ${\overset {\vartriangle }{COB}}$ (vedi fig.1).

Per il teorema di Talete vale la proporzione:

${OC \over OB}={OG \over OA}$

Ora

$OB=\cos \theta ,$

$OC=1,$

$OG=\sec \theta ,$

$OA=1.$

Quindi:

${\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {\sec \theta }{1}},$

da cui

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}.$

Calcolo dell'insieme di definizione e dell'immagine

I punti $x={\frac {\pi }{2}}+k\pi \in \mathbb {R}$ devono essere esclusi dal dominio, poiché la funzione $\cos$ si trova al denominatore e si annulla in questi punti. Per quanto riguarda l'immagine, invece, si ha

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad -1\leq \cos x\leq 1,$

ossia

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \cos x\geq -1\wedge \cos x\leq 1.$

Pertanto

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad {\frac {1}{\cos x}}=\sec x\leq -1\wedge {\frac {1}{\cos x}}=\sec x\geq 1,$

ossia

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \sec x\in \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right]=\mathbb {R} \setminus \left(-1,1\right).$

Valori notevoli

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che $\sec x={1 \over \cos x}$:

$x$ in radianti	0	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {5}{12}}\pi$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
$x$ in gradi	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
$\sec(x)$	$1$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$	$\nexists$	$-1$	$\nexists$	$1$

Derivate

La derivata prima della secante, e le sue derivate successive, si ottengono ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x.$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\tan x}{\cos x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1+\sin ^{2}x}{\cos ^{3}x}}=\sec ^{3}x\left(1+\sin ^{2}x\right).$

Relazione trigonometrica secante-cosecante

Conseguenza della prima relazione fondamentale della trigonometria $(\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1)$ è la seguente relazione tra secante e cosecante:

$\mathrm {cosec} ^{2}x+\sec ^{2}x=\mathrm {cosec} ^{2}x\cdot \sec ^{2}x$

per ogni $x\neq k{\pi \over 2}$ con $k\in \mathbb {Z}$.

La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per $\sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x$.

Bibliografia

• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6.
• Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.

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Collegamenti esterni

• (EN) secant, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Secante, su MathWorld, Wolfram Research.