Secondo teorema di Euclide

In geometria, il secondo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al primo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide.

Enunciato modifica

Il teorema di Euclide può essere enunciato in due modi diversi ma equivalenti a seconda della proprietà che si desidera sottolineare.

Considerando l'equiestensione tra figure il teorema afferma che:^[1]

in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Se si vuole considerare invece il rapporto tra la lunghezza dei segmenti, il teorema afferma che:

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Le due enunciazioni sono equivalenti e mutuamente dimostrantisi.

Dimostrazione del primo enunciato^[1] modifica

Dimostrazione del secondo teorema di Euclide mediante l'equivalenza

Guardando la figura, sia $CL$ congruente e perpendicolare a $CA$ e $CR$ congruente a $CH$ .

Si vuole dimostrare che il quadrato $HPQB$ è equivalente al rettangolo $RLMS$ .

Si consideri il triangolo rettangolo $BCH$ e ad esso si applichi il teorema di Pitagora. Si ottiene che il quadrato $CBDE$ è equivalente alla somma dei quadrati $HPQB$ e $CRSH$ .

Si consideri ora il triangolo rettangolo $ABC$ , e ad esso si applichi il primo teorema di Euclide. Si ottiene che il quadrato $CBDE$ è equivalente al rettangolo $CLMH$ , ma tale rettangolo può essere considerato come la somma del quadrato $CRSH$ e del rettangolo $RLMS$ .

Allora la somma di $HPQB$ e $CRSH$ è equivalente alla somma di $CRSH$ e $RLMS$ , quindi, per differenza, $HPQB$ è equivalente a $RLMS$ .

Dimostrazione del secondo enunciato modifica

In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura il teorema afferma che $CH:BH=BH:AH$ . In modo equivalente: $BH^{2}=CH$ · $AH$ .

Si considerino i triangoli $BCH$ e $ABH$ . Dato che l'angolo $BAH$ è complementare di $BCA$ , si può concludere che gli angoli $HCB$ e $ABH$ sono congruenti, e quindi i triangoli $BCH$ e $ABH$ sono simili per il primo criterio di similitudine. Si può quindi scrivere la proporzione $CH:BH=BH:AH$ .

Dimostrazione con il Teorema di Pitagora modifica

Il teorema di Pitagora, applicato al triangolo $ABC$ ci dice che:

$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$

Invece applicato al triangolo $CHB$

$CH^{2}+BH^{2}=BC^{2}$

E al triangolo $AHB$

$AH^{2}+BH^{2}=AB^{2}$

Unendo le due uguaglianze abbiamo che:

$AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+BH^{2}=AH^{2}+2BH^{2}+CH^{2}=AC^{2}$

Ma $AC=CH+AH$ e dunque

$AH^{2}+2BH^{2}+CH^{2}=(CH+AH)^{2}=CH^{2}+AH^{2}+2AH$ · $CH$

Togliendo i quadrati da entrambi i lati:

$2BH^{2}=2AH$ · $CH$

Ossia

$BH^{2}=AH$ · $CH$

Che è l'equivalenza

Equivalenza fra gli enunciati modifica

È facile mostrare che i due enunciati sono fra loro equivalenti, una volta introdotto il concetto di misura. Infatti, con riferimento alla figura, il primo enunciato si può esprimere anche dicendo che l'area della superficie del quadrato $HPQB$ è equivalente all'area della superficie del rettangolo $RLMS$ . In formule: $BH$ · $BH=RS$ · $RL$ . Avendo costruito la figura in modo che $RS=CH$ e che $LR=AH$ , si può scrivere che $BH$ · $BH=CH$ · $AH$ , il che significa che $CH:BH=BH:AH$ , che infine dimostra l'equivalenza fra i due.