Segmento circolare

porzione di cerchio delimitata da una o due secanti

In geometria, un segmento circolare è una porzione di cerchio delimitata da una secante (o corda).

Rappresentazione di un segmento circolare, in cui: è il raggio, è la lunghezza della corda (linea tratteggiata), è la lunghezza dell'arco, è l'angolo al centro che insiste sull'arco, è l'altezza della porzione triangolare, è la saetta, ossia l'altezza del segmento circolare in verde.

La corda o secante definisce due segmenti circolari, uno dei quali è contrassegnato in verde nell'illustrazione, mentre l'altro è in bianco.

Formula principaleModifica

L'area del segmento circolare è uguale alla differenza tra l'area del settore circolare definito da   e l'area della porzione triangolare.

La lunghezza del raggio è uguale alla somma delle due altezze:  .

Per l'arco  , con   espresso in radianti.

Per l'area si avrà:  . In alternativa si può usare questa formula che non fa uso di funzioni trigonometriche né dell'angolo   ma solo di lunghezze:  .

Dimostrazione: l'area si ottiene come differenza tra l'area del settore circolare e del triangolo inscritto ossia:  .

Per la corda (dal teorema della corda):  .

L'altezza della porzione triangolare è  .

L'altezza del segmento è  .

Formula approssimataModifica

Poiché per   è possibile approssimare la funzione   utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al 2° termine, ossia:

 

Per   la lunghezza della corda   si approssima con la seguente formula:

 

dunque

 

Analogamente, noti   e   è possibile ricavare   e   per  :

 
 

Area in funzione dell'altezzaModifica

 
Segmento circolare in funzione dell'altezza h

Calcolo dell'area del segmento in funzione dell'altezza  .

L'area del settore è data da:

 
 
 

L'area del triangolo isoscele è data dal prodotto del segmento   per la semicorda del settore circolare:

 

L'area segmento   è data dalla differenza dell'area del settore e l'area del triangolo isoscele:

 

L'area   è una funzione trascendente di   e  , quindi non può essere espressa in termini algebrici. Ma si può affermare che man mano che l'angolo al centro diventa più piccolo (o alternativamente il raggio diventa più grande), l'area   si avvicina rapidamente e asintoticamente a  . Se  , allora   è sostanzialmente una buona approssimazione.

Quando l'angolo al centro si avvicina a  , l'area del segmento converge all'area di un semicerchio  , quindi una buona approssimazione è:

  per  

Calcolo della corda   in funzione dell'altezza:

 

Calcolo dell'arco   in funzione dell'altezza:

 
 

Calcolo del baricentroModifica

Voci correlateModifica

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