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Segnatura (algebra lineare)

terna di numeri che fornisce delle informazioni su una matrice simmetrica o su un prodotto scalare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la segnatura è una terna di numeri che fornisce delle informazioni su una matrice simmetrica o su un prodotto scalare.

La segnatura è utile a determinare le proprietà essenziali di un prodotto scalare. Ad esempio, un prodotto scalare definito positivo, come quello presente in uno spazio euclideo, ha segnatura , mentre lo spazio-tempo di Minkowski (fondamentale nella teoria della relatività) ha segnatura oppure , a seconda delle convenzioni.

DefinizioneModifica

Sia   una matrice simmetrica reale (cioè i cui valori sono numeri reali). La segnatura   di   è una terna di numeri naturali definita nel modo seguente: i valori   e   sono rispettivamente il numero di autovalori positivi, negativi e nulli di  , ciascuno è contato con la sua molteplicità algebrica.

Se   è un prodotto scalare su uno spazio vettoriale   di dimensione finita, la segnatura di   è definita come la segnatura della matrice che rappresenta   rispetto ad una qualsiasi base.[1]

Notazioni alternativeModifica

Nei casi in cui  , vengono spesso usate notazioni differenti per la segnatura. Innanzitutto, il termine   è omesso, e si parla di segnatura come coppia   di numeri. In alternativa, la segnatura è descritta scrivendo i segni " " e " " rispettivamente   e   volte. Quindi si scrive   per  , cioè  , e   per  , cioè  . Queste sono le notazioni usate ad esempio nella relatività ristretta e generale.

ProprietàModifica

Teorema spettraleModifica

Per il teorema spettrale, una matrice simmetrica reale   è diagonalizzabile. In particolare, ha esattamente   autovalori (contati con molteplicità). Quindi  .

Teorema di SylvesterModifica

Per il teorema di Sylvester, due prodotti scalari sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura. Quindi la segnatura è un invariante completo per i prodotti scalari, visti a meno di isometria. Analogamente, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.

Interpretazione geometrica degli indiciModifica

I valori   e   sono detti indice di positività, negatività e nullità. L'indice di nullità è la dimensione del radicale di  , oppure del nucleo di  . Quindi un prodotto scalare non degenere ha segnatura  .

Gli indici   e   sono la massima dimensione di un sottospazio su cui il prodotto scalare è rispettivamente definito positivo o negativo.

EsempiModifica

MatriciModifica

La segnatura della matrice identità   è  . Più in generale, la segnatura di una matrice diagonale è la terna formata dal numero di elementi positivi, negativi e nulli sulla diagonale principale.

Le matrici seguenti hanno entrambe segnatura  , e sono quindi congruenti per il teorema di Sylvester:

 

Prodotti scalariModifica

Il prodotto scalare standard in   ha segnatura  . Un prodotto scalare ha questa segnatura se e solo se è definito positivo.

Un prodotto scalare definito negativo ha segnatura  . Un prodotto scalare semidefinito positivo ha segnatura  , ed uno semidefinito negativo  .

Lo spazio-tempo di Minkowski è   con il prodotto scalare definito dalla matrice:

 

ed ha quindi segnatura  . Alcuni autori usano la matrice con i segni opposti, ottenendo la segnatura  .

Calcolo della segnaturaModifica

Per calcolare la segnatura di una matrice (simmetrica) sono disponibili alcune tecniche.

NoteModifica

  1. ^ Grazie al teorema di Sylvester, questa definizione non dipende dalla base scelta.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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