Segnatura (algebra lineare)
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la segnatura è una terna di numeri che corrispondono al numero di autovalori di una matrice simmetrica (o di un prodotto scalare associato).
La segnatura è utile a determinare le proprietà essenziali di un prodotto scalare. Ad esempio, un prodotto scalare definito positivo, come quello presente in uno spazio euclideo, ha segnatura , mentre lo spazio-tempo di Minkowski (fondamentale nella teoria della relatività) ha segnatura oppure , a seconda delle convenzioni.
Definizione
modificaSia una matrice simmetrica reale (cioè i cui valori sono numeri reali). La segnatura di è una terna di numeri naturali definita nel modo seguente: i valori e sono rispettivamente il numero di autovalori positivi, negativi e nulli di , ciascuno è contato con la sua molteplicità algebrica.
Se è un prodotto scalare su uno spazio vettoriale di dimensione finita, la segnatura di è definita come la segnatura della matrice che rappresenta rispetto ad una qualsiasi base.[1]
Notazioni alternative
modificaNei casi in cui , vengono spesso usate notazioni differenti per la segnatura. Innanzitutto, il termine è omesso, e si parla di segnatura come coppia di numeri. In alternativa, la segnatura è descritta scrivendo i segni " " e " " rispettivamente e volte. Quindi si scrive per , cioè , e per , cioè . Queste sono le notazioni usate ad esempio nella relatività ristretta e generale. Oppure si può usare anche un singolo numero .
Proprietà
modificaTeorema spettrale
modificaPer il teorema spettrale, una matrice simmetrica reale è diagonalizzabile. In particolare, ha esattamente autovalori reali (contati con molteplicità). Quindi .
Teorema di Sylvester
modificaPer il teorema di Sylvester, due prodotti scalari sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura. Quindi la segnatura è un invariante completo per i prodotti scalari, visti a meno di isometria. Analogamente, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.
Interpretazione geometrica degli indici
modificaI valori e sono detti indice di positività, negatività e nullità. L'indice di nullità è la dimensione del radicale di , oppure del nucleo di . Quindi un prodotto scalare non degenere ha segnatura .
Gli indici e sono la massima dimensione di un sottospazio su cui il prodotto scalare è rispettivamente definito positivo o negativo.
Esempi
modificaMatrici
modificaLa segnatura della matrice identità è . Più in generale, la segnatura di una matrice diagonale è la terna formata dal numero di elementi positivi, negativi e nulli sulla diagonale principale.
Le matrici seguenti hanno entrambe segnatura , e sono quindi congruenti per il teorema di Sylvester:
Prodotti scalari
modificaIl prodotto scalare standard in ha segnatura . Un prodotto scalare ha questa segnatura se e solo se è definito positivo.
Un prodotto scalare definito negativo ha segnatura . Un prodotto scalare semidefinito positivo ha segnatura , ed uno semidefinito negativo .
Lo spazio-tempo di Minkowski è con il prodotto scalare definito dalla matrice:
ed ha quindi segnatura . Alcuni autori usano la matrice con i segni opposti, ottenendo la segnatura .
Calcolo della segnatura
modificaPer calcolare la segnatura di una matrice (simmetrica) sono disponibili alcune tecniche.
- Poiché il polinomio caratteristico ha tutte le radici reali, il loro segno può essere determinato con la regola dei segni di Cartesio.
- L'algoritmo di Lagrange fornisce un metodo per calcolare una base ortogonale, e quindi per calcolare una matrice diagonale congruente (e quindi con la stessa segnatura) a quella data: la segnatura di una matrice diagonale si ottiene quindi contando i segni dei valori sulla diagonale.
- Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i determinanti dei suoi minori principali sono tutti positivi.
Note
modifica- ^ Grazie al teorema di Sylvester, questa definizione non dipende dalla base scelta.
Bibliografia
modifica- Tevian Dray, George Ellis, Charles Hellaby e Corinne A. Manogue, Gravity and signature change, in General Relativity and Gravity, vol. 29, 1997, pp. 591–597, Bibcode:1997GReGr..29..591D, DOI:10.1023/A:1018895302693, arXiv:gr-qc/9610063.