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Una serie di Laurent è definita rispetto ad un particolare punto c e ad un percorso di integrazione γ. Tale percorso deve essere contenuto in una corona circolare (qui mostrata in rosso) al cui interno f(z) sia olomorfa.

In analisi complessa, la serie di Laurent di una funzione complessa è una rappresentazione di tale funzione in serie di potenze che include termini di grado negativo. Questa rappresentazione può essere utilizzata per esprimere una funzione complessa qualora lo sviluppo in serie di Taylor non possa essere applicato. In realtà fu scoperta nel 1841 da Weierstrass, il quale tuttavia non pubblicò i suoi risultati: prende perciò il nome dal matematico francese Laurent che la pubblicò nel 1843.

Indice

DefinizioneModifica

La serie di Laurent per una funzione complessa   in un punto   è data da:

 

Dove   sono termini costanti, definiti da un integrale di linea che è una generalizzazione della formula integrale di Cauchy:

 

Il percorso di integrazione   è preso in verso antiorario intorno ad una curva chiusa semplice (non si interseca con sé stessa), che circonda   e che giace all'interno di una corona circolare   in cui   è olomorfa. Lo sviluppo di   è valido ovunque all'interno della corona. La corona è evidenziata in rosso nella figura a destra, insieme ad un esempio di possibile percorso di integrazione, qui chiamato  . In pratica, questa formula è utilizzata molto raramente perché gli integrali presenti sono, in generale, difficili da valutare; tipicamente si costruisce la serie di Laurent a partire da combinazioni di sviluppi di Taylor già noti. I numeri   e   vengono in genere considerati complessi, sebbene esistano altre possibilità, come riportato di seguito.

La parte negativa della serie di Laurent viene detta parte principale della serie, mentre quella positiva, parte regolare.

Teorema di LaurentModifica

Il teorema di Laurent ci garantisce che la serie vista nella sezione precedente converge uniformemente alla funzione   nella corona circolare in cui è olomorfa, e cioè:

Sia   una funzione olomorfa in una corona circolare   e sia   una curva chiusa semplice. Allora   può essere sviluppata, in tutta la corona  , in una serie di potenze bilatera uniformemente convergente, detta serie di Laurent, nella forma:

 

con

 

Per dimostrare questo importante risultato, si considerino le frontiere   e   della corona circolare   Per ogni punto   si ha, quindi, che   per ogni   e   per ogni   Aprendo ora le due curve   e   in un punto e unendole con due curve   e   arbitrariamente vicine, si ottiene una nuova curva chiusa   Sui punti interni dell'insieme che ha   come frontiera si ha che   è olomorfa, perché  . Si può quindi usare la rappresentazione integrale di Cauchy, ricordando che i contributi delle curve   e   si annullano a vicenda: infatti, essendo   olomorfa su  , è ivi continua, e nei due tratti arbitrariamente vicini assume valori arbitrariamente vicini, che si annullano a vicenda perché le due curve sono percorse in versi opposti:

 

Per le proprietà sopra enunciate si possono espandere i termini   e   in serie convergenti:

 

Quindi si può usare il fatto che deformando le curve   e   con continuità possono essere fatte coincidere con   senza che le condizioni che ottenute in precedenza vengano meno, e quindi senza perdere la convergenza delle serie:

 

Serie di Laurent convergenteModifica

La serie di Laurent a coefficienti complessi è uno strumento importante in analisi complessa, in particolare per comprendere il comportamento di funzioni nei pressi delle loro singolarità.

 
e-1/x² e le sue approssimazioni secondo Laurent: vedi legenda nel testo. L'approssimazione diviene sempre più accurata aumentando il grado negativo della serie di Laurent.

Si consideri ad esempio la funzione f(x) = e−1/x² e sia f(0) = 0. Come funzione reale, questa è differenziabile ovunque infinite volte; come funzione complessa essa non è differenziabile in x = 0. Sostituendo x con −1/x2 nella serie di potenze della funzione esponenziale, si ottiene la sua serie di Laurent che converge ed è uguale a f(x) per tutti i numeri complessi x eccetto la singolarità x=0. Il grafico mostra e−1/x² in nero e le sue approssimazioni secondo Laurent

 

per n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 50. Se n → ∞, l'approssimazione diviene esatta per tutti i numeri (complessi) x eccetto la singolarità x = 0.

In generale, la serie di Laurent può essere usata per esprimere funzioni olomorfe definite in una corona circolare, così come la serie di potenze è usata per esprimere funzioni olomorfe definite all'interno di un cerchio.

Si supponga che

 

sia una data serie di Laurent a coefficienti complessi an e che c sia il centro complesso. Allora esiste un unico raggio interno r e un unico raggio esterno R tale che:

  • La serie di Laurent converge nella corona aperta A := {z : r < |z − c| < R}. Per convergenza della serie di Laurent, si intende che sia la serie di potenze di grado positivo sia la serie di potenze a grado negativo convergano. Inoltre, questa convergenza è uniforme su uno spazio compatto. Infine, la serie convergente definisce una funzione olomorfa f(z) sulla corona aperta.
  • Fuori dalla corona, la serie di Laurent diverge. Questo equivale a dire che, in ogni punto esterno ad A, la serie di grado positivo o quella a grado negativo divergono.
  • Sui punti di frontiera della corona, non è possibile fare considerazioni di carattere generale.

È possibile che r sia zero o R sia infinito; d'altra parte non è necessariamente vero che r sia minore di R. Questi raggi possono essere calcolati come segue:

 
 

Si considera R infinito se l'ultimo limite superiore è zero.

Per contro, se si parte da una corona del tipo A = {z : r < |z − c| < R} e da una funzione olomorfa f(z) definita su A, allora esiste sempre un'unica serie di Laurent centrata in c che converge (almeno) su A e rappresenta la funzione f(z).

EsempioModifica

A titolo di esempio, sia

 

Questa funzione ha singolarità in   e   , punti nei quali il denominatore dell'espressione si annulla e la funzione non è definita. Si potrà di conseguenza approssimare la funzione come serie di Taylor, centrata nei punti di singolarità, affermando preventivamente che:

  • Il dominio di convergenza di ciascuna serie risulta il più grande cerchio non contenente altri punti di singolarità all'infuori del proprio centro.
  • Entrambi i punti di singolarità sono poli del primo ordine (poli semplici): scrivendo la serie di Laurent si dovrà quindi riscontrare una parte singolare composta unicamente dal termine di grado   con coefficiente residuale  

Infine, calcolando la serie in un intorno del punto all'infinito, bisognerà riscontrarne l'olomorfia: è infatti zero il limite calcolato in un intorno di tale punto.

  • Sviluppo di Taylor centrato nel punto  :
 
  • Sviluppo di Taylor centrato nel punto  :
 

Le due espressioni mettono in risalto la parte singolare che conferma la natura di   e   di poli semplici. Calcolando ora i raggi di convergenza delle due serie secondo la definizione:

 

cioè la distanza tra le due singolarità:

 

Abbiamo quindi verificato che: "Il dominio di convergenza di ciascuna serie risulta il più grande cerchio non contenente altri punti di singolarità all'infuori del proprio centro".

  • Sviluppo di Taylor in un intorno del punto all'infinito:
 

Si nota che l'espressione di   risulta ora formata solamente da potenze negative   : ciò conferma il fatto che in un intorno del punto all'infinito la funzione sia olomorfa.

EsempioModifica

Trovare la serie di Laurent in potenze di   di

 

Dapprima notiamo che

 

allora riscriviamo

 

L'ultima frazione può essere espansa in serie geometrica per   vicino a  :

 

Sostituiamo questo sviluppo nell'espressione di   e dividiamo per   entrambi i membri: otteniamo infine

 

Serie di Laurent e residuiModifica

Il caso  , cioè una funzione olomorfa   che non è definita in un singolo punto  , è particolarmente importante.

Il coefficiente   dello sviluppo secondo Laurent di tale funzione è chiamato residuo di   nella singolarità  ; questo riveste grande importanza nel teorema dei residui.

EsempioModifica

Come esempio, si consideri

 

Questa funzione è olomorfa ovunque tranne in  . Per determinare lo sviluppo secondo Laurent in  , si usi la nota serie di Taylor della funzione esponenziale:

 

si osserva che il residuo è  .

ConsiderazioniModifica

La serie di Laurent ha importanti proprietà nell'analisi complessa. Consideriamo la serie di Laurent di una funzione   nel dominio anulare  , dove ovviamente   sono i due raggi del dominio anulare di convergenza di centro  :

 

con

 

dove ancora   è una curva regolare che appartiene al dominio anulare e che circonda  .

Ricordiamo che i coefficienti   non sono in generale la rappresentazione di Cauchy delle derivate  -esime della funzione come nel caso di Taylor, a meno che   non sia un punto regolare allora la serie di Laurent coinciderebbe con la serie di Taylor.

Serie di Laurent e singolaritàModifica

  • Nel caso in cui tutti i coefficienti negativi della serie di Laurent siano nulli, la serie di Laurent coinciderebbe con la serie di Taylor, cioè   sarebbe sicuramente un punto regolare e il dominio anulare diverrebbe un cerchio di convergenza. Questo vale anche inversamente: se   non fosse un punto singolare per la funzione allora la funzione integranda dei coefficienti sarebbe analitica entro   e l'integrale di   sarebbe nullo, annullando così tutti i coefficienti di ordine negativo.
  • La serie di Laurent si potrebbe fermare nella parte negativa per un certo  , allora il punto   è un polo di ordine k per la funzione, infatti la serie partirebbe dal lato negativo:
 

e quindi

 

che è la definizione di polo di ordine  .

  • Se la serie di Laurent non si ferma dalla parte negativa allora il punto   sarebbe una singolarità essenziale non essendo né un punto di diramazione (nell'ipotesi in cui   sia monodroma), né un polo e né una singolarità eliminabile.

BibliografiaModifica

  • (EN) Henri Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables, Dover Publications, ISBN 0486685438
  • Philippe Dennery e André Krzywicki, Mathematics for Physicist, Mineola, New York, Dover Publications, 1967, ISBN 978-0-486-69193-0.
  • Carlo Bernardini, Orlando Ragnisco e Paolo Maria Santini, Metodi matematici per la fisica, Roma, Carocci editore, 1993, ISBN 978-88-430-1517-7.

Voci correlateModifica