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In matematica, per serie di Mercator o serie di Newton-Mercator si intende la serie di Taylor della funzione logaritmo naturale.

Essa è data dalla formula

,

espressione valida per .

Questa serie fu scoperta indipendentemente da Isaac Newton, Nicolaus Mercator e Gregorio di San Vincenzo.

Fu pubblicata per la prima volta nel 1668 nel trattato Logarithmo-technica di Nicolaus Mercator.

DerivazioneModifica

La serie può essere ricavata differenziando ripetutamente la funzione logaritmo naturale iniziando con

 

In alternativa, si può partire con l'uguaglianza (la serie geometrica):

 

la quale fornisce, in ragione   e per  :

 

Integriamo i membri da   a  :

 

e svolgiamo questi integrali: il primo vale immediatamente

 

per il secondo, dato che la serie converge uniformemente per  , possiamo integrare termine a termine:

 

Quindi abbiamo ottenuto:

 

Caso particolareModifica

Ponendo  , la serie di Mercator si riduce alla cosiddetta serie armonica a segni alterni

 

Si verifica infatti che la serie

 

converge uniformemente anche nel punto   (per il criterio di Leibniz), e pertanto, essendo somma di funzioni continue in quel punto (polinomi), è ivi continua. Allora la serie e la funzione   ammettono lo stesso limite per  , cioè:

 

Questa si può considerare anche caso particolare relativo a   della funzione eta di Dirichlet  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Mercator Series in MathWorld
  • (SV) Eriksson, Larsson, Wahde (2002): Matematisk analys med tillämpningar, part 3, Göteborg, p. 10.
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