Simboli 6j

In matematica, i simboli 6j (o 6-j), detti anche simboli di Wigner 6j, si riferiscono ai valori assunti da una funzione di sei variabili che possono assumere valori interi o semiinteri (0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ...).

Sono stati introdotti da Eugene Paul Wigner nel 1940, e pubblicati nel 1965.

Vengono in utilizzati in teoria dei gruppi (nello studio delle rappresentazioni del gruppo delle rotazioni) e nella teoria del momento angolare (in particolare nella meccanica quantistica).

Definizione

Essi sono strettamente collegati con i coefficienti W di Racah e si possono definire come

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}:=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).$

Relazioni di simmetria

I simboli 6j, rispetto ai coefficienti W di Racah hanno il vantaggio di una maggiore simmetria. Essi sono invarianti per tutti gli scambi di due colonne:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}.$

Essi inoltre sono invarianti per lo scambio degli argomenti superiori di una qualsiasi coppia di colonne con i corrispondenti argomenti inferiori

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.$

Il simbolo 6j

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}$

è diverso da 0 se e solo se $j_{1}$, $j_{2}$ e $j_{3}$ soddisfano la disuguaglianza triangolare

$j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}.$

Questa condizione combinata con le proprietà di simmetria comporta che la disuguaglianza triangolare deve essere soddisfatta anche dalle terne $(j_{1},j_{5},j_{6})$, $(j_{4},j_{2},j_{6})$ e $(j_{4},j_{5},j_{3})$.

Valori particolari

Quando $j_{6}=0$ il simbolo 6j viene dato dall'espressione:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\Delta (j_{1},j_{2},j_{3}).$

Qui si usa la funzione $\Delta (j_{1},j_{2},j_{3})$ uguale ad 1 se la terna $(j_{1},j_{2},j_{3})$ soddisfa la disuguaglianza triangolare, uguale a 0 altrimenti. Le relazioni di simmetria consentono di trovare le espressioni per gli altri simboli 6j con un argomento nullo.

Relazione di ortogonalità

Vale la seguente relazione di ortogonalità, collegata alla interpretazione dei simboli come coefficienti di cambiamenti di base per uno spazio di rappresentazione del gruppo delle rotazioni:

$\sum _{j_{3}=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}\Delta (j_{1},j_{5},j_{6})\Delta (j_{4},j_{2},j_{6}).$

Bibliografia

• L. C. Biedenharn, van Dam, H., Quantum Theory of Angular Momentum: A collection of Reprints and Original Papers, New York, Academic Press, 1965, ISBN 0-12-096056-7.

• A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 1957, ISBN 0-691-07912-9.

• Edward U. Condon, Shortley, G. H., Chapter 3, in The Theory of Atomic Spectra, Cambridge, Cambridge University Press, 1970, ISBN 0-521-09209-4.
• Leonard C. Maximon, 3j,6j,9j Symbols, in Frank W. J. Olver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert e Charles W. Clark (a cura di), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255. URL consultato il 13 settembre 2017 (archiviato dall'url originale il 27 maggio 2010).
• Albert Messiah, Quantum Mechanics (Volume II), 12th, New York, North Holland Publishing, 1981, ISBN 0-7204-0045-7.

• D. M. Brink, Satchler, G. R., Chapter 2, in Angular Momentum, 3rd, Oxford, Clarendon Press, 1993, ISBN 0-19-851759-9.

• Richard N. Zare, Chapter 2, in Angular Momentum, New York, John Wiley, 1988, ISBN 0-471-85892-7.

• L. C. Biedenharn, Louck, J. D., Angular Momentum in Quantum Physics, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1981, ISBN 0-201-13507-8.

Voci correlate

• Coefficienti di Clebsch-Gordan
• Simboli 3j
• Coefficienti W di Racah
• Simboli 9j

Collegamenti esterni

• (EN) 6j Symbols, Wolfram Research, su mathworld.wolfram.com.
• Calcolatore esatto di Antony Stone per i coefficienti di Wigner, su www-stone.ch.cam.ac.uk.
• Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator, su volya.net. URL consultato il 22 settembre 2009 (archiviato dall'url originale il 20 dicembre 2012).
• 369j-symbol calculator presso il Plasma Laboratory del Weizmann Institute of Science