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Similitudine (geometria)

Gli oggetti aventi lo stesso colore sono simili.

La similitudine è una trasformazione geometrica, del piano o dello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. In altre parole, una trasformazione del piano (o dello spazio) in sé è una similitudine se e solo se esiste un numero reale positivo tale che:

per ogni coppia di punti

Ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di una omotetia e una isometria, o viceversa.

Queste trasformazioni mantengono la "forma" (non vengono modificati gli angoli) dell'oggetto, pur cambiandone la posizione, l'orientazione o la grandezza; quindi due oggetti simili hanno la stessa "forma".

EsempiModifica

Due circonferenze nel piano sono sempre simili. Tutti i quadrati sono simili: più in generale, tutti i poligoni regolari con un numero fissato di lati sono simili.

Tutte le parabole sono simili fra loro, mentre ellissi ed iperboli non lo sono necessariamente.

Quando due oggetti   e   sono simili, si scrive generalmente

 

Geometria affineModifica

In geometria affine, una similitudine del piano cartesiano è una particolare affinità

 

In questa notazione   indica un generico punto del piano  , mentre   è una matrice 2x2

 

e   è un vettore colonna fissato  . Nella notazione si fa uso della moltiplicazione fra matrici.

Una affinità descritta in questo modo è una similitudine se e solo se:

 

Questo è equivalente a chiedere che i coefficienti   siano non tutti nulli e che una delle due seguenti condizioni sia verificata:

  •  , oppure
  •  .

Nel primo caso, il determinante di   è positivo, la similitudine preserva l'orientazione e si dice diretta. Nel secondo caso il determinante è negativo, l'orientazione è ribaltata e si dice inversa.

PoligoniModifica

 
Misurazioni tramite il calcolo di poligoni primi (stampa del 1607)

Triangoli similiModifica

Esistono alcuni criteri che permettono di determinare se due triangoli sono simili, il primo è il più noto:

  1. Due triangoli sono simili se e solo se hanno ordinatamente tre angoli congruenti.
    • Corollario 1. Due triangoli equilateri sono simili.
    • Corollario 2. Due triangoli rettangoli, con un angolo acuto congruente, sono simili.
    • Corollario 3. Due triangoli isosceli, con gli angoli al vertice congruenti, sono simili.
  2. Due triangoli   e   aventi: due lati proporzionali e l'angolo compreso congruente
    •  
    • gli angoli in   e in   sono uguali,
    sono simili.
    • Corollario. Due triangoli rettangoli sono simili se hanno i cateti in proporzione
  3. Due triangoli   e  aventi: i lati proporzionali
     
    sono simili.

Poligoni similiModifica

Esistono criteri analoghi per due poligoni arbitrari nel piano. Il più importante è il seguente:

Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti in proporzione.

In verità, non è necessario effettuare la verifica su tutti gli angoli e tutti i lati: è possibile escludere

  • due lati qualsiasi consecutivi e l'angolo compreso tra essi, oppure
  • due angoli qualsiasi consecutivi e il lato compreso tra essi, oppure
  • tre angoli consecutivi.

Se il poligono non è un triangolo, non è vero che due poligoni aventi gli angoli interni uguali sono simili: ad esempio, due rettangoli hanno sempre gli stessi angoli interni, ma sono simili soltanto se hanno lo stesso rapporto fra i lati.

Numeri complessi e figure auto-similariModifica

Numeri complessiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Rotazione nel piano complesso.

Ogni similitudine fra due oggetti nel piano può essere elegantemente espressa tramite l'uso dei numeri complessi. È sufficiente descrivere il piano come piano complesso: in questo modo, ogni similitudine è esprimibile tramite una trasformazione lineare del tipo

 

oppure

 

dove   e   sono due numeri complessi, e   è il complesso coniugato di  .

FrattaliModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Frattale.

Un frattale è un oggetto geometrico autosimilare: ogni sua piccola parte contiene un oggetto simile all'oggetto grande.

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Collegamenti esterniModifica

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