Similitudine (geometria)

Trasformazione geometrica
(Reindirizzamento da Similitudine (matematica))

La similitudine è una trasformazione geometrica, del piano o dello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. In altre parole, una trasformazione del piano (o dello spazio) in sé è una similitudine se e solo se esiste un numero reale positivo tale che:

Gli oggetti aventi lo stesso colore sono simili.

per ogni coppia di punti

Ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di una omotetia e una isometria, o viceversa.

Queste trasformazioni mantengono la "forma" (non vengono modificati gli angoli) dell'oggetto, pur cambiandone la posizione, l'orientazione o la grandezza; quindi due oggetti simili hanno la stessa "forma".

Esempi modifica

Due circonferenze nel piano sono sempre simili. Tutti i quadrati sono simili: più in generale, tutti i poligoni regolari con un numero fissato di lati sono simili.

Tutte le parabole sono simili fra loro, mentre ellissi ed iperboli non lo sono necessariamente.

Quando due oggetti   e   sono simili, si scrive generalmente

 

Geometria affine modifica

In geometria affine, una similitudine del piano cartesiano è una particolare affinità

 

In questa notazione   indica un generico punto del piano  , mentre   è una matrice 2x2

 

e   è un vettore colonna fissato  . Nella notazione si fa uso della moltiplicazione fra matrici.

Una affinità descritta in questo modo è una similitudine se e solo se:

 

Questo è equivalente a chiedere che i coefficienti   siano non tutti nulli e che una delle due seguenti condizioni sia verificata:

  •  , oppure
  •  .

Nel primo caso, il determinante di   è positivo, la similitudine preserva l'orientazione e si dice diretta. Nel secondo caso il determinante è negativo, l'orientazione è ribaltata e si dice inversa.

Poligoni modifica

 
Misurazioni tramite il calcolo di poligoni primi (stampa del 1607)

Triangoli simili modifica

Esistono alcuni criteri che permettono di determinare se due triangoli sono simili, il primo è il più noto:

  1. Due triangoli sono simili se e solo se hanno ordinatamente tre angoli congruenti.
    • Corollario 1. Due triangoli equilateri sono simili.
    • Corollario 2. Due triangoli rettangoli, con un angolo acuto congruente, sono simili.
    • Corollario 3. Due triangoli isosceli, con gli angoli al vertice congruenti, sono simili.
  2. Due triangoli   e   aventi: due lati proporzionali e l'angolo compreso congruente
    •  
    • gli angoli in   e in   sono uguali,
    sono simili.
    • Corollario. Due triangoli rettangoli sono simili se hanno i cateti in proporzione
  3. Due triangoli   e  aventi: i lati proporzionali
     
    sono simili.

Poligoni simili modifica

Esistono criteri analoghi per due poligoni arbitrari nel piano. Il più importante è il seguente:

Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti in proporzione.

In verità, non è necessario effettuare la verifica su tutti gli angoli e tutti i lati: è possibile escludere

  • due lati qualsiasi consecutivi e l'angolo compreso tra essi, oppure
  • due angoli qualsiasi consecutivi e il lato compreso tra essi, oppure
  • tre angoli consecutivi.

Se il poligono non è un triangolo, non è vero che due poligoni aventi gli angoli interni uguali sono simili: ad esempio, due rettangoli hanno sempre gli stessi angoli interni, ma sono simili soltanto se hanno lo stesso rapporto fra i lati.

Numeri complessi e figure auto-similari modifica

Numeri complessi modifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Similitudine nel piano complesso.
 
Il triangolo di Sierpiński è un frattale.

Ogni similitudine fra due oggetti nel piano può essere elegantemente espressa tramite l'uso dei numeri complessi. È sufficiente descrivere il piano come piano complesso: in questo modo, ogni similitudine è esprimibile tramite una trasformazione lineare del tipo

 

oppure

 

dove   e   sono due numeri complessi, e   è il complesso coniugato di  

Frattali modifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Frattale.

Un frattale è un oggetto geometrico autosimilare: ogni sua piccola parte contiene un oggetto simile all'oggetto grande.

Altri progetti modifica

Collegamenti esterni modifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica