Simmetria centrale

In matematica, e più precisamente in geometria, una simmetria centrale è una trasformazione (della retta, del piano o dello spazio) che scambia tra di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto medio, un punto fissato (della retta, del piano o dello spazio), detto centro di simmetria. La simmetria centrale coincide con la rotazione di 180° rispetto al centro di simmetria.

Geometria euclidea pianaModifica

Nel piano euclideo, due punti A e A' si dicono simmetrici rispetto a un punto O (cui non appartengono) quando O è il punto medio (o centro) del segmento [AA']. A' si dice il simmetrico di A rispetto ad O e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto A il punto A' suo simmetrico, e viceversa, si dice simmetria centrale di centro O.

La simmetria centrale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione $\sigma _{\rm {O}}$ per indicare la simmetria centrale di centro O; il simmetrico di A si scrive ${\rm {A}}'=\sigma _{\rm {O}}({\rm {A}})$ .

La simmetria centrale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con se stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria centrale è un'isometria di tipo diretto, cioè mantiene l'orientazione degli oggetti (ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il senso di percorrenza dei lati di un triangolo, etc.).

La simmetria centrale in coordinate cartesianeModifica

Nel piano cartesiano ${\mathbb {R} }^{2}$ , la simmetria centrale di centro O $(x_{0},y_{0})$ è una corrispondenza biunivoca

(x,y)\mapsto (x',y')

definita nel modo seguente:

x'=-x+2\,x_{0}

y'=-y+2\,y_{0}

L'espressione si estende in dimensione più alta. Nello spazio euclideo n-dimensionale ${\mathbb {R} }^{n}$ , la simmetria di centro O $(x_{01},x_{02},\ldots x_{0n})$ è descritta come