Simmetria centrale

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In matematica, e più precisamente in geometria, una simmetria centrale è una trasformazione (della retta, del piano o dello spazio) che scambia tra di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto medio, un punto fissato (della retta, del piano o dello spazio), detto centro di simmetria. La simmetria centrale coincide con la rotazione di 180° rispetto al centro di simmetria.

Geometria euclidea pianaModifica

Nel piano euclideo, due punti   e   si dicono simmetrici rispetto a un punto   quando   è il punto medio del segmento   Il punto   si dice il simmetrico di   rispetto a   e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto   il punto   suo simmetrico, e viceversa, si dice simmetria centrale di centro  

La simmetria centrale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione   per indicare la simmetria centrale di centro   il simmetrico di   si scrive  .

La simmetria centrale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con sé stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria centrale è un'isometria di tipo diretto, cioè mantiene l'orientazione degli oggetti; ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il verso di percorrenza dei lati di un triangolo, ecc.

La simmetria centrale in coordinate cartesianeModifica

Nel piano cartesiano  , la simmetria centrale di centro   è una corrispondenza biunivoca

 

definita nel modo seguente:

 

L'espressione si estende in dimensione più alta. Nello spazio euclideo  -dimensionale  , la simmetria di centro   è descritta come

 

dove

 

Scrittura matricialeModifica

Figure simmetricheModifica

Esempi di figure geometriche con simmetria centrale sono alcuni poligoni circoscrivibili, come il quadrato.

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