Solido di Johnson

In geometria un solido di Johnson è un poliedro convesso le cui facce sono tutte costituite da poligoni regolari, ma che non è né un solido platonico, né un solido archimedeo, né un prisma, né un antiprisma. Le diverse facce possono essere poligoni con numeri diversi di lati. Il più semplice esempio di solido di Johnson è la piramide a base quadrata; essa ha una faccia quadrata e quattro facce triangolari.

La girobicupola quadrata elongata, il solido di Johnson con sigla J37

I solidi di Johnson sono 92, e vengono generalmente indicati con una sigla che va da fino a .

Cenni storiciModifica

Nel 1966, Norman Johnson ha pubblicato una lista di poliedri che include tutti i 92 solidi e ha dato loro i nomi e i numeri da allora entrati nell'uso. Egli non ha dimostrato che di tali solidi ce ne fossero solo 92, ma ha avanzato questa congettura. La dimostrazione che la lista trovata da Johnson fosse completa è stata fornita da Victor Zalgaller nel 1969.

ProprietàModifica

Valenze ai verticiModifica

Come in ogni solido strettamente convesso, in ogni vertice incidono almeno tre facce e l'ampiezza totale dei loro angoli deve essere inferiore a 360°. Dato che un poligono regolare possiede angoli di almeno 60°, accade che in ogni vertice incidono al più cinque facce. La piramide pentagonale (J2) costituisce un esempio di solido con un vertice di valenza 5.

Tra i solidi di Johnson la girobicupola quadrata elongata (J37) è l'unica che risulta essere localmente regolare sui vertici: in ogni vertice incidono quattro facce e la composizione di queste quaterne è sempre la stessa: tre quadrati e un triangolo.

FacceModifica

Gli unici poligoni che sono facce di qualche poliedro di Johnson hanno numero di lati pari a 3, 4, 5, 6, 8 o 10. Questo dato è il risultato della classificazione: non sembrano esserci modi più diretti per mostrare che solo questi valori sono ammessi.

NomiModifica

A prima vista i nomi dei poliedri di Johnson sembrano complicate bizzarrie; in realtà sono stati scelti in modo da risultare il più possibile descrittivi. Per padroneggiare i significati dei nomi bisogna osservare che gran parte dei solidi di Johnson si possono costruire con elaborazioni relativamente semplici a partire da poliedri piuttosto semplici: le prime piramidi, le cupole, le rotunde, i solidi platonici, i solidi archimedei, i prismi e gli antiprismi. Vediamo quindi il significato degli elementi lessicali utilizzati nei nomi.

  • Il prefisso bi- significa che vengono unite per le basi due copie del solido richiamato successivamente. Le cupole e le rotunde si possono unire facendo incontrare o facce simili (si usa il prefisso (orto-) o facce dissimili (si usa il prefisso giro-). Secondo questa nomenclatura, un ottaedro viene chiamato bipiramide quadrata, un cubottaedro viene detto girobicupola e un icosidodecaedro viene chiamato girobirotonda pentagonale.
  • L'aggettivo elongato significa che è stato incollato un prisma alla base del solido richiamato o tra le basi dei solidi richiamati. Un rombicubottaedro diventa anche una ortobicupola quadrata elongata.
  • L'aggettivo giroelongato viene usato quando è stato incollato un antiprisma alla base del solido in questione o tra le basi di due solidi in questione. Un icosaedro sarebbe una bipiramide pentagonale giroelongata.
  • Aumentato significa che una piramide o una cupola è stata aggiunta a una faccia del solido in questione.
  • Diminuito viene usato quando dal solido richiamato è stata rimossa una piramide o una cupola.
  • Girato esprime il fatto che una cupola posta sul solido in questione è stata ruotata in modo che vengano a coincidere coppie di spigoli prima distinti, come per la differenza tra ortobicupole e girobicupole.

Nomi e numeri di JohnsonModifica

I nomi e i numeri di Johnson per i solidi in esame sono i seguenti.

Piramidi, cupole e rotondaModifica

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
1 Piramide quadrata   Piramide 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v
2 Piramide pentagonale   Piramide 6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v
3 Cupola triangolare   Cupola 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v
4 Cupola quadrata   Cupola 12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v
5 Cupola pentagonale   Cupola 15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v
6 Rotonda pentagonale   Rotonda 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5v

Piramidi modificateModifica

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
7 Piramide triangolare elongata   Piramide elongata 7 12 7 4 3 0 0 0 0 C3v
8 Piramide quadrata elongata   Piramide elongata 9 16 9 4 5 0 0 0 0 C4v
9 Piramide pentagonale elongata   Piramide elongata 11 20 11 5 5 1 0 0 0 C5v
10 Piramide quadrata giroelongata   Piramide giroelongata 9 20 13 12 1 0 0 0 0 C4v
11 Piramide pentagonale giroelongata   Piramide giroelongata 11 25 16 15 0 1 0 0 0 C5v
12 Dipiramide triangolare   Dipiramide 5 9 6 6 0 0 0 0 0 D3h
13 Dipiramide pentagonale   Dipiramide 7 15 10 10 0 0 0 0 0 D5h
14 Bipiramide triangolare elongata   Bipiramide elongata 8 15 9 6 3 0 0 0 0 D3h
15 Bipiramide quadrata elongata   Bipiramide elongata 10 20 12 8 4 0 0 0 0 D4h
16 Bipiramide pentagonale elongata   Bipiramide elongata 12 25 15 10 5 0 0 0 0 D5h
17 Bipiramide quadrata giroelongata   Bipiramide giroelongata 10 24 16 16 0 0 0 0 0 D4d

Cupole e rotonde modificateModifica

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
18 Cupola triangolare elongata   Cupola elongata 15 27 14 4 9 0 1 0 0 C3v
19 Cupola quadrata elongata   Cupola elongata 20 36 18 4 13 0 0 1 0 C4v
20 Cupola pentagonale elongata   Cupola elongata 25 45 22 5 15 1 0 0 1 C5v
21 Rotonda pentagonale elongata   Rotonda elongata 30 55 27 10 10 6 0 0 1 C5v
22 Cupola triangolare giroelongata   Cupola giroelongata 15 33 20 16 3 0 1 0 0 C3v
23 Cupola quadrata giroelongata   Cupola giroelongata 20 44 26 20 5 0 0 1 0 C4v
24 Cupola pentagonale giroelongata   Cupola giroelongata 25 55 32 25 5 1 0 0 1 C5v
25 Rotonda pentagonale giroelongata   Rotonda giroelongata 30 65 37 30 0 6 0 0 1 C5v
26 Girobifastigio   Bicupola 8 14 8 4 4 0 0 0 0 D2d
27 Ortobicupola triangolare   Bicupola 12 24 14 8 6 0 0 0 0 D3h
28 Ortobicupola quadrata   Bicupola 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4h
29 Girobicupola quadrata   Bicupola 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4d
30 Ortobicupola pentagonale   Bicupola 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5h
31 Girobicupola pentagonale   Bicupola 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5d
32 Ortocupolarotonda pentagonale   Cupolarotonda 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
33 Girocupolarotonda pentagonale   Cupolarotonda 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
34 Ortobirotonda pentagonale   Birotonda 30 60 32 20 0 12 0 0 0 D5h
35 Ortobicupola triangolare elongata   Bicupola elongata 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3h
36 Girobicupola triangolare elongata   Bicupola elongata 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3d
37 Girobicupola quadrata elongata   Bicupola elongata 24 48 26 8 18 0 0 0 0 D4d
38 Ortobicupola pentagonale elongata   Bicupola elongata 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5h
39 Girobicupola pentagonale elongata   Bicupola elongata 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5d
40 Ortocupolarotonda pentagonale elongata   Cupolarotonda elongata 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
41 Girocupolarotonda pentagonale elongata   Cupolarotonda elongata 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
42 Ortobirotonda pentagonale elongata   Birotonda elongata 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5h
43 Girobirotonda pentagonale elongata   Birotonda elongata 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5d
44 Bicupola triangolare giroelongata   Bicupola giroelongata 18 42 26 20 6 0 0 0 0 D3
45 Bicupola quadrata giroelongata   Bicupola giroelongata 24 56 34 24 10 0 0 0 0 D4
46 Bicupola pentagonale giroelongata   Bicupola giroelongata 30 70 42 30 10 2 0 0 0 D5
47 Cupolarotonda pentagonale giroelongata   Cupolarotonda giroelongata 35 80 47 35 5 7 0 0 0 C5
48 Birotonda pentagonale giroelongata   Birotonda giroelongata 40 90 52 40 0 12 0 0 0 D5

Prismi aumentatiModifica

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
49 Prisma triangolare aumentato   Prisma aumentato 7 13 8 6 2 0 0 0 0 C2v
50 Prisma triangolare biaumentato   Prisma aumentato 8 17 11 10 1 0 0 0 0 C2v
51 Prisma triangolare triaumentato   Prisma aumentato 9 21 14 14 0 0 0 0 0 D3h
52 Prisma pentagonale aumentato   Prisma aumentato 11 19 10 4 4 2 0 0 0 C2v
53 Prisma pentagonale biaumentato   Prisma aumentato 12 23 13 8 3 2 0 0 0 C2v
54 Prisma esagonale aumentato   Prisma aumentato 13 22 11 4 5 0 2 0 0 C2v
55 Prisma esagonale parabiaumentato   Prisma aumentato 14 26 14 8 4 0 2 0 0 D2h
56 Prisma esagonale metabiaumentato   Prisma aumentato 14 26 14 8 4 0 2 0 0 C2v
57 Prisma esagonale triaumentato   Prisma aumentato 15 30 17 12 3 0 2 0 0 D3h

Solidi platonici modificatiModifica

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
58 Dodecaedro aumentato   Dodecaedro aumentato 21 35 16 5 0 11 0 0 0 C5v
59 Dodecaedro parabiaumentato   Dodecaedro aumentato 22 40 20 10 0 10 0 0 0 D5d
60 Dodecaedro metabiaumentato   Dodecaedro aumentato 22 40 20 10 0 10 0 0 0 C2v
61 Dodecaedro triaumentato   Dodecaedro aumentato 23 45 24 15 0 9 0 0 0 C3v
62 Icosaedro metabidiminuito   Icosaedro diminuito 10 20 12 10 0 2 0 0 0 C2v
63 Icosaedro tridiminuito   Icosaedro diminuito 9 15 8 5 0 3 0 0 0 C3v
64 Icosaedro tridiminuito aumentato   - 10 18 10 7 0 3 0 0 0 C3v

Solidi di Archimede modificatiModifica

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
65 Tetraedro troncato aumentato   Tetraedro troncato aumentato 15 27 14 8 3 0 3 0 0 C3v
66 Cubo troncato aumentato   Cubo troncato aumentato 28 48 22 12 5 0 0 5 0 C4v
67 Cubo troncato biaumentato   Cubo troncato aumentato 32 60 30 16 10 0 0 4 0 D4h
68 Dodecaedro troncato aumentato   Dodecaedro troncato aumentato 65 105 42 25 5 1 0 0 11 C5v
69 Dodecaedro troncato parabiaumentato   Dodecaedro troncato aumentato 70 120 52 30 10 2 0 0 10 D5d
70 Dodecaedro troncato metabiaumentato   Dodecaedro troncato aumentato 70 120 52 30 10 2 0 0 10 C2v
71 Dodecaedro troncato triaumentato   Dodecaedro troncato aumentato 75 135 62 35 15 3 0 0 9 C3v
72 Rombicosidodecaedro girato   Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C5v
73 Rombicosidodecaedro parabigirato   Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 D5d
74 Rombicosidodecaedro metabigirato   Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C2v
75 Rombicosidodecaedro trigirato   Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C3v
76 Rombicosidodecaedro diminuito   Rombicosidodecaedro diminuito 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
77 Rombicosidodecaedro paragirato diminuito   Rombicosidodecaedro diminuito girato 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
78 Rombicosidodecaedro metagirato diminuito   Rombicosidodecaedro diminuito girato 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
79 Rombicosidodecaedro bigirato diminuito   Rombicosidodecaedro diminuito girato 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
80 Rombicosidodecaedro parabidiminuito   Rombicosidodecaedro diminuito 50 90 42 10 20 10 0 0 2 D5d
81 Rombicosidodecaedro metabidiminuito   Rombicosidodecaedro diminuito 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
82 Rombicosidodecaedro bidiminuito girato   Rombicosidodecaedro diminuito girato 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
83 Rombicosidodecaedro tridiminuito   Rombicosidodecaedro diminuito 45 75 32 5 15 9 0 0 3 C3v

MistiModifica

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
84 Disfenoide camuso   - 8 18 12 12 0 0 0 0 0 D2d
85 Antiprisma quadrato camuso   - 16 40 26 24 2 0 0 0 0 D4d
86 Sfenocorona   - 10 22 14 12 2 0 0 0 0 C2v
87 Sfenocorona aumentata   - 11 26 17 16 1 0 0 0 0 Cs
88 Sfenomegacorona   - 12 28 18 16 2 0 0 0 0 C2v
89 Ebesfenomegacorona   - 14 33 21 18 3 0 0 0 0 C2v
90 Disfenocingolo   - 16 38 24 20 4 0 0 0 0 D2d
91 Bilunabirotonda   - 14 26 14 8 2 0 0 0 0 D2h
92 Ebesfenorotonda triangolare   - 18 36 20 13 3 3 1 0 0 C3v

BibliografiaModifica

  • Norman Johnson (1966): Convex Solids with Regular Faces, Canadian Journal of Mathematics, 18, pp. 169–200. Contiene la enumerazione originale dei 92 solidi e la congettura che non ve ne siano altri.
  • Victor A. Zalgaller (1969): Convex Polyhedra with Regular Faces Consultants Bureau, New York. Traduzione dal russo: originale nei Seminari di matematica dell'istituto V.A. Steklov. Contiene la prima dimostrazione dell'esistenza di solo 92 solidi di Johnson.

Collegamenti esterniModifica

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