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Solido di rotazione

solido generato ruotando una figura piana attorno a un asse complanare
Un toro

In matematica, e in particolare in geometria, un solido di rotazione o di rivoluzione è la figura ottenuta ruotando attorno ad un asse una regione piana , sul cui piano giace l'asse stesso.

Ad esempio, il toro è ottenuto dalla rotazione di un cerchio attorno ad un asse esterno al cerchio medesimo.

Indice

Solidi ottenuti dalla rotazione di trapezoidiModifica

La figura piana che ruota è spesso un trapezoide con la base sull'asse. La sfera ad esempio è il solido di rotazione del semicerchio intorno al diametro; il cilindro è generato dal rettangolo.

 
Rotazione di una curva

In questo caso il solido è delimitato da una superficie laterale ottenuta ruotando una curva attorno all'asse (superficie di rotazione), ed eventualmente da due basi circolari perpendicolari a tale asse.

Definizione come luogo di puntiModifica

A meno di rotazioni dello spazio tridimensionale, l'asse si può considerare coincidente con   in modo da poter esprimere il solido in coordinate cilindriche:

 

dove   e   sono due valori reali con  , la funzione   è il raggio del cilindro di asse   e la funzione   è una funzione non negativa e continua, il cui grafico è la curva della definizione che giace sul piano  .

Volume e superficieModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teoremi di Pappo-Guldino.

Il volume   del solido   si può ottenere idealmente "tagliandolo" in dischi di spessore "infinitesimo"   lungo l'asse   (teorema di Fubini). Il disco corrispondente a   ha volume uguale all'area del cerchio di raggio   moltiplicata per lo spessore  . Quindi sommando i vari contributi infinitesimi   (ovvero integrando) si ha

 

La superficie è invece data da:

 

Se il solido è dato da

 

cioè la figura da ruotare è compresa tra due funzioni non negative, allora il volume è

 

Il volume del solido, se ottenuto tramite rotazione rispetto all'asse  , con  , si può calcolare pensandolo come la somma delle superfici laterali dei cilindri di asse  , raggio   e altezza  . Quindi sommando rispetto a   (cioè integrando), si ha:

 

Nel caso la figura da ruotare sia compresa tra due funzioni, allora si ha:

 

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