Somma di potenze di interi successivi

Un problema enumerativo di grande interesse riguarda la valutazione delle somme delle potenze di interi successivi

Jakob Bernoulli, Summae Potestatum, 1713[1]

dove e denotano numeri interi positivi.

GeneralitàModifica

Si osserva che la precedente espressione definisce una successione a due indici interi a valori interi positivi, cioè una funzione dell'insieme

 

Si dimostra facilmente in vari modi (vedi Numero triangolare) che

 

Risulta abbastanza agevole anche trovare che

 
 

Queste due formule si dimostrano senza difficoltà per induzione; la seconda è il teorema di Nicomaco.

Si osserva che la somma delle potenze  -esime dei primi   interi positivi è data da un polinomio di grado   nella   a coefficienti razionali. In effetti Carl Jacobi nel 1834 ha dimostrato che questa proprietà vale per tutti gli interi positivi.

Si osserva anche che, soprattutto se   è elevato, la valutazione delle somme effettuata mediante il calcolo di questi polinomi è molto più agevole della valutazione effettuata servendosi direttamente della definizione.

È quindi utile conoscere le espressioni dei polinomi relativi ai successivi valori   degli esponenti.

Le espressioni per i successivi valori di   furono individuate da Johann Faulhaber e pubblicate nel 1631 e una espressione generale, conosciuta come formula di Faulhaber è stata dimostrata da Jacobi.

 [2]

dove   indica l' -esimo numero di Bernoulli.

La tavola delle espressioni polinomiali prosegue per   nel seguente modo:

 
 
 
 
 
 
 

I polinomi che si ottengono hanno come fattori   per   pari, o   per   dispari; inoltre sono simmetrici o antisimmetrici rispetto a  , nel senso che se si sostituisce   a  , si ottiene lo stesso polinomio se   è dispari o il polinomio opposto se   è pari.

Connessione con il triangolo di TartagliaModifica

Se si riportano, ordinati per grado crescente, su una matrice quadrata, i coefficienti dei polinomi esprimenti la somma di potenze, visti precedentemente, si ottiene la seguente matrice triangolare di ordine 11:

 

Come Giorgio Pietrocola ha scoperto (o forse riscoperto) e dimostrato in generale[3], la sua matrice inversa è facilmente ottenibile dal triangolo di Tartaglia alternando i segni e azzerando l'ultimo valore di ogni riga:

 

Dunque, viceversa, invertendo questa ultima matrice facilmente ricavabile dal noto triangolo si ottiene la matrice dei coefficienti polinomiali e quindi anche, nella prima colonna, i numeri di Bernoulli.

NoteModifica

  1. ^ Nel polinomio di decimo grado che esprime le somme delle potenze di nono, il coefficiente del monomio di secondo grado è -3/20 e non -1/12 come erroneamente riportato in questa antica pagina. Fonte Note esplicative in: Maecla 2008
  2. ^ Il fattore   ha lo scopo di cambiare segno ai numeri di Bernoulli   con indice dispari. Poiché tali numeri sono tutti nulli tranne   a volte si utilizza la variante con   per alleggerire la formula. Un altro modo usabile allo stesso scopo è far partire gli addendi da zero:  
  3. ^ Maecla 2008.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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