Sottogruppo caratteristico

In matematica, un sottogruppo caratteristico di un gruppo è un sottogruppo tale che per ogni automorfismo di . Esempi di sottogruppi caratteristici sono il sottogruppo banale formato dal solo elemento neutro di , stesso, il centro e il sottogruppo derivato di .

EsempiModifica

  • Il centro di un gruppo   è sempre un sottogruppo caratteristico. Infatti, dato un elemento  , abbiamo che  . Ma allora, dato   automorfismo, abbiamo che  :
 
ovvero  .
  • Il sottogruppo derivato di  , ovvero il sottogruppo generato dai commutatori, è caratteristico, perché l'immagine di ogni commutatore è ancora un commutatore; più precisamente,
 .
  • Più in generale, ogni elemento delle: serie centrale discendente, serie centrale ascendente, serie derivata,  -serie discendente, serie di Jennings è un sottogruppo caratteristico.
  • Se   è l'unico sottogruppo di   di una certa cardinalità  , allora   è caratteristico, perché per ogni automorfismo   l'immagine   è ancora un sottogruppo di cardinalità  . Questa condizione non è necessaria: ad esempio, se   è il gruppo diedrale con 8 elementi (dove   è la rotazione e   una riflessione), allora   è un sottogruppo caratteristico (essendo il centro di  ) che ha ordine 2, mentre   è un sottogruppo non caratteristico di ordine 2.
  • Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico finito è caratteristico (perché non ve ne sono altri della stessa cardinalità).

ProprietàModifica

  • Ogni sottogruppo caratteristico è normale; questo segue dal fatto che un sottogruppo è normale in   se e solo se è fissato da ogni automorfismo interno. Viceversa, un sottogruppo normale può non essere caratteristico: ad esempio, il prodotto diretto   è abeliano, per cui tutti i suoi sottogruppi sono normali, ma l'applicazione  , definita da
 
è un automorfismo che manda il sottogruppo   in  , non in sé.
  • Siano  . Se   è caratteristico in   e   è caratteristico in  ,   lo è anche in  . Non è però sufficiente una sola delle due ipotesi: né un sottogruppo non caratteristico di un sottogruppo caratteristico, né un sottogruppo caratteristico di un sottogruppo non caratteristico sono necessariamente caratteristici.

BibliografiaModifica

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