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Inclusione

relazione binaria tra insiemi
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B sottoinsieme di A

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con , è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme è contenuto o incluso nell'insieme se e solo se, per ogni elemento , se appartiene a allora appartiene ad ". In simboli, dati due insiemi e , si ha:

[1]

L'insieme si dice sottoinsieme di .

Si parla, più propriamente, di inclusione stretta, per indicare che ogni elemento di è anche elemento di ma che esistono elementi di A che non sono elementi di .

Nel caso in cui tutti gli elementi di appartengono anche a si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di se stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di non è compreso nell'insieme , cioè nel caso dell'inclusione stretta.

B è propriamente incluso in A.

Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è , mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è . Tuttavia spesso viene usata una notazione alternativa che indica con un sottoinsieme e con un sottoinsieme proprio (quest'ultima si usa anche quando si vuole mettere in evidenza che non coincide con ).

Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è (oppure ) per il sovrainsieme, e (oppure ) per il sovrainsieme proprio.

EsempioModifica

Siano   e  , allora  .

ProprietàModifica

  • L'inclusione è una relazione d'ordine largo, cioè è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva; quindi valgono:
  (riflessività)
  (antisimmetria)
  (transitività)

In particolare, l'antisimmetria della relazione viene tipicamente sfruttata per definire l'uguaglianza di   e  :

"  è uguale   se e solo se   è contenuto in   e   è contenuto in  ",

cioè:

 
  • L'insieme vuoto   è sottoinsieme di ogni altro insieme, cioè "per ogni insieme   si ha che  ".
  • Valgono
 
 
  • Se  , allora:
 
 

Distinzione fra inclusione ed appartenenzaModifica

Bisogna fare molta attenzione a non confondere il concetto di inclusione con quello di appartenenza.

Esempi:

  • è esatta:   - cioè   appartiene all'insieme  
  • è errata:   - cioè non si può dire che   è incluso nell'insieme  
  • è esatta:   - cioè il singoletto di   è incluso nell'insieme  

StoriaModifica

Il simbolo ⊂, così come ad esempio anche i simboli , , , venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.

NoteModifica

  1. ^ Eventualmente si deve aggiungere   per avere l'inclusione propria.

Voci correlateModifica

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Collegamenti esterniModifica

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