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Tre sottospazi distinti di dimensione 2 in . Due di questi si intersecano in un sottospazio di dimensione 1 (evidenziato in blu).

In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali sono le rette ed i piani nello spazio euclideo tridimensionale passanti per l'origine.

DefinizioneModifica

Sia   un campo, sia   uno spazio vettoriale su   e sia   un sottoinsieme non vuoto di  . L'insieme   è un sottospazio vettoriale di   se è uno spazio vettoriale su   con le operazioni di somma e moltiplicazione per scalare e se è chiuso rispetto ad esse.[1]

Si dimostra che   è un sottospazio vettoriale se e solo se valgono le seguenti proprietà:[2]

  • Se   e   sono elementi di  , allora anche la loro somma   è un elemento di  .
  • Se   è un elemento di   e   è uno scalare in  , allora il prodotto   è un elemento di  .

Le prime due condizioni sono equivalenti alla seguente: se   e   sono elementi di  ,   e   sono elementi di  , allora   è un elemento di  .[3]

Dalla definizione segue che per ogni spazio vettoriale   gli insiemi   e   sono suoi sottospazi vettoriali, detti sottospazi impropri o banali. Alcuni autori omettono l'appartenenza del vettore nullo nella definizione in quanto si dimostra appartenere ad ogni sottospazio vettoriale. Infatti, per ogni   il vettore:

 

appartiene a   grazie alla chiusura dell'insieme rispetto al prodotto per scalare. Inoltre, si prova facilmente che il sottospazio di un sottospazio di uno spazio   è sottospazio di   stesso.

Queste proprietà garantiscono che le operazioni di somma e di prodotto per scalare di   siano ben definite anche quando sono ristrette a  . A questo punto, gli otto assiomi di spazio vettoriale, che erano garantiti per  , valgono anche per  , e quindi anche   è uno spazio vettoriale.

EsempiModifica

Molti esempi di spazi vettoriali si costruiscono come sottospazi di spazi vettoriali standard, quali  , le matrici  , o i polinomi a coefficienti in  .

  • L'origine da sola forma il sottospazio più piccolo di qualsiasi spazio vettoriale.
  • Una retta o un piano passanti per l'origine sono sottospazi di  .
  • Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in   ed in n variabili sono un sottospazio vettoriale di  .
  • Le matrici diagonali, le simmetriche e le antisimmetriche formano tre sottospazi dello spazio delle matrici quadrate  .
  • Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare   sono sottospazi rispettivamente di   e di  .
  • I polinomi di gradi al più   sono un sottospazio dello spazio   dei polinomi a coefficienti in   con variabile  .
  • Se   è un insieme ed   un punto di  , le funzioni da   in   che si annullano in   (cioè le   tali che  ) costituiscono un sottospazio dello spazio di tutte le funzioni da   in  . Inoltre le funzioni da   in   che si annullano sia in   che in un secondo punto   costituiscono un sottospazio del precedente.
  • L'insieme delle funzioni continue   da   in   fornisce un sottospazio delle funzioni da   in  , e l'insieme delle funzioni derivabili ne costituisce un sottospazio.

Operazioni nei sottospaziModifica

L'intersezione da   di due sottospazi   e   di   è ancora un sottospazio. Ad esempio, l'intersezione di due piani distinti in   passanti per l'origine è una retta, sempre passante per l'origine.

L'unione   invece non è in generale un sottospazio, ed è un sottospazio se e solo se   oppure  . Una composizione di due sottospazi   e   che fornisce un nuovo sottospazio è la cosiddetta somma  , definita come l'insieme di tutti i vettori che sono somma   dei vettori   e  . Ad esempio, la somma di due rette distinte (sempre passanti per l'origine) in   è il piano che le contiene.

La formula di Grassmann mette in relazione le dimensioni dei quattro spazi  ,  ,   e  .

L'ortogonale   di uno sottospazio vettoriale   di uno spazio   su cui sia definita una forma bilineare   è l'insieme dei vettori   tali che   per ogni  .

Quoziente di uno spazio vettorialeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio vettoriale quoziente.

Se   è un sottospazio vettoriale di  , si può costruire il gruppo quoziente   e munirlo a sua volta di una naturale struttura di spazio vettoriale.

Con precisione, si definisce la relazione di equivalenza   se e solo se  . Una singola classe di equivalenza è spesso denotata come  . Somma e moltiplicazione per scalari sono definiti mediante:

 
 

NoteModifica

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 34.
  2. ^ S. Lang, Pag. 38.
  3. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 35.

BibliografiaModifica

  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Aigner, M. Combinatorial Theory. New York: Springer-Verlag, 1979.
  • (EN) Exton, H. q-Hypergeometric Functions and Applications. New York: Halstead Press, 1983.
  • (EN) Finch, S. R. "Lengyel's Constant." Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 316-321, 2003.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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