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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la copertura lineare o span lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è il sottospazio vettoriale ottenuto dall'intersezione di tutti i sottospazi contenenti tale insieme.[1]

La copertura lineare è l'insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale, ed è pertanto chiamato "sottospazio vettoriale generato" da essi. Si dice che tali vettori costituiscono un insieme di generatori per tale spazio.

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale su un campo  . Siano   vettori di  . Una copertura lineare di tali vettori è il sottospazio vettoriale:[2]

 

Si dimostra che si tratta del sottospazio generato dai vettori stessi, ovvero il sottoinsieme di   formato da tutte le possibili combinazioni lineari nel campo considerato.[3] Se il numero   di vettori è uguale alla dimensione del sottospazio generato, allora essi sono linearmente indipendenti, ovvero l'insieme di generatori che formano è una base del sottospazio.[4]

La copertura lineare è, in altre parole, il sottospazio vettoriale più piccolo fra tutti quelli che contengono i vettori  , essendo contenuto in ciascun sottospazio contenente questi vettori.

ChiusuraModifica

La trasformazione di un insieme di vettori di   nel sottospazio da loro generato, cioè la funzione  , costituisce un esempio di funzione di chiusura. Come per tutte queste funzioni di insieme, vale la seguente proprietà di isotonia: se   e   sono insiemi di vettori di   tali che  , allora:

 

In particolare, se   e   è ottenuto da   aggiungendo un vettore  , il sottospazio generato può restare invariato o diventare più esteso. Il sottospazio resta invariato se e solo se il vettore   è già contenuto in questo, cioè:

 

se e solo se:

 

Basi e dimensioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Base (algebra lineare).

Un insieme di vettori è una base del sottospazio che genera se e solo se questi sono linearmente indipendenti. Se i vettori non sono indipendenti, esiste un loro sottoinsieme formato da vettori indipendenti: un sottoinsieme di questo tipo può essere trovato tramite l'algoritmo di estrazione di una base.

Da quanto appena detto segue quindi che la dimensione di un sottospazio generato da   vettori è al più  , ed è proprio   se e solo se questi sono indipendenti.

EsempiModifica

Nel pianoModifica

In  , i vettori   e   sono dipendenti. Il loro span quindi ha dimensione minore di due, e infatti è una retta. Formalmente si scrive  . I vettori   e   invece sono indipendenti, e perciò il loro span è uno spazio di dimensione 2 dentro  : uno spazio di dimensione   ha solo sé stesso come sottospazio di dimensione  , e perciò  .

Nello spazioModifica

In  , i vettori  ,  ,   sono dipendenti, perché l'ultimo è la differenza dei primi due. Si hanno quindi  , e poiché questi due vettori sono indipendenti, sono una base del loro span che ha dimensione 2, ovvero è un piano.

NoteModifica

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 36.
  2. ^ S. Lang, Pag. 40.
  3. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 37.
  4. ^ S. Lang, Pag. 44.

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • (EN) Rynne & Youngson (2001). Linear functional analysis, Springer.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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