Spazio contraibile

In matematica, uno spazio topologico è contraibile se la funzione identità su è omotopicamente nulla, cioè se è omotopa a qualche funzione costante.[1][2] Intuitivamente, uno spazio contraibile è uno spazio che può essere ridotto con continuità a un punto dello spazio stesso.

Illustrazione di alcuni spazi contraibili e non contraibili. Gli spazi A, B e C sono contraibili; gli spazi D, E e F non lo sono.

ProprietàModifica

Uno spazio contraibile è uno spazio che ha lo stesso tipo di omotopia di un punto. Ne consegue che tutti i gruppi di omotopia di uno spazio contraibile sono banali. Pertanto, qualsiasi spazio con un gruppo di omotopia non banale non può essere contraibile. Allo stesso modo, poiché l'omologia singolare è un invariante di omotopia, i gruppi di omologia ridotta di uno spazio contraibile sono tutti banali.

Per uno spazio topologico   le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  •   è contraibile (cioè la funzione identità è omotopicamente nulla);
  •   è omotopicamente equivalente a uno spazio di un punto;
  •   è un retratto per deformazione di un punto (tuttavia esistono spazi contraibili che non sono retratti per deformazione forti di un punto);
  • per ogni spazio   due qualsiasi funzioni   sono omotope;
  • per ogni spazio   qualsiasi funzione   è omotopicamente nulla.

Il cono su uno spazio   è sempre contraibile. Pertanto qualsiasi spazio può essere immerso in uno spazio contraibile (il che mostra anche che i sottospazi degli spazi contraibili non sono necessariamente contraibili).

Inoltre,   è contraibile se e solo se esiste una retrazione dal cono di   a  

Ogni spazio contraibile è connesso per cammini e semplicemente connesso. Inoltre, poiché tutti i gruppi di omotopia superiori sono nulli, ogni spazio contraibile è n-connesso per ogni  

Spazi localmente contraibiliModifica

Uno spazio topologico è localmente contraibile se ogni punto ha una base locale di intorni contraibili. Gli spazi contraibili non sono necessariamente localmente contraibili né è vero il viceversa. Ad esempio lo spazio pettine è contraibile ma non localmente contraibile (se lo fosse, sarebbe localmente connesso, cosa che non è). Gli spazi localmente contraibili sono localmente  -connessi per ogni   In particolare sono localmente semplicemente connessi, localmente connessi per cammini e localmente connessi.

Esempi e controesempiModifica

NoteModifica

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