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In matematica lo spazio duale o spazio duale algebrico di un -spazio vettoriale (con un campo), indicato con , è uno spazio vettoriale particolare che ricorre in molte applicazioni della matematica e della fisica essendo a fondamento della nozione di tensore.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   un  -spazio vettoriale. Lo spazio duale di  , indicato con  , è formato da tutti i funzionali lineari

 

La somma fra due funzionali lineari   e  , e il prodotto fra   e uno scalare   sono definiti nel modo seguente:

 
 

Con queste operazioni, l'insieme   assume effettivamente la struttura algebrica di spazio vettoriale.[1] In simboli, si può scrivere:

 

dove la notazione   indica, in generale, lo spazio vettoriale formato da tutte le applicazioni lineari fra due spazi vettoriali   e  .

Base dualeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Base duale.

Dimensione finitaModifica

Se   ha dimensione finita  , allora   ha la stessa dimensione di  .[2] Usando le matrici si dimostra infatti che

 

In questo caso si ottiene:

 .

Data una base di  , è possibile costruire una base duale di   nel modo seguente. Se

 

è una base per  , la base duale

 

è definita dalle relazioni:

 

In altre parole, il funzionale   è definito come l'unico funzionale che manda   in 1 e tutti gli altri elementi   della base in zero.

Quindi l'applicazione:

 

è un isomorfismo che però dipende dalla scelta della base, quindi non canonico.

Più concretamente, se   è lo spazio dei vettori colonna con n componenti, lo spazio duale   è lo spazio dei vettori riga con n componenti: ciascun vettore riga   può essere infatti interpretato come un funzionale che manda il vettore colonna   nello scalare   ottenuto moltiplicando   e   tramite la usuale moltiplicazione fra matrici. In questo caso, se   è la base canonica di  , allora   è semplicemente la trasposta di  .

Dimensione infinitaModifica

Se   ha dimensione infinita, la costruzione di   descritta sopra produce dei vettori indipendenti in  , ma non una base: questi vettori non sono sufficienti per generare tutti i funzionali lineari. Infatti   ha dimensione maggiore di  , nel senso che è infinita con cardinalità maggiore.

Ad esempio, lo spazio   delle successioni di numeri reali che hanno solo un numero finito di elementi non nulli ha dimensione numerabile. Lo spazio duale può essere identificato con lo spazio   di tutte le successioni di numeri reali, ed ha dimensione più che numerabile (ha la stessa cardinalità di  ). L'identificazione avviene nel modo seguente: una sequenza ( ) di   è il funzionale che manda l'elemento ( ) di   nello scalare  .

Spazio BidualeModifica

Sia   un  -spazio vettoriale. Allora   è definito in questo modo:

 

e viene detto spazio biduale di V.

Quindi lo spazio biduale   di uno spazio vettoriale   è ottenuto prendendo il duale dello spazio  .

Se   ha dimensione finita, questo ha sempre la stessa dimensione di  .

 

è un isomorfismo (non canonico) da   in  .

A differenza di  , se   ha dimensione finita lo spazio   è canonicamente isomorfo a  , tramite un isomorfismo canonico   che non dipende da nessuna scelta della base, definito come segue:

 

dove   e  .

Inoltre per ogni   base  .

Se   ha dimensione infinita, la mappa   è solamente iniettiva.

AnnullatoreModifica

Sia   un  -spazio vettoriale, sia   l'isomorfismo canonico da   in   e sia   un elemento di  . Allora:

 

e viene detto annullatore di   in  .

Se si estende questa definizione ad un qualsiasi sottoinsieme   di   si ottiene:

 

ProprietàModifica

  • Per tutti gli  ,   è un sottospazio vettoriale di  ;
  •   implica  ;
  •  ;
  • Se   è un sottospazio vettoriale di   e  , allora  ;
  •   implica  ;
  • Se   è un sottospazio vettoriale di  , allora  .

Trasposta di un'applicazione lineareModifica

Se   è un'applicazione lineare fra spazi vettoriali, si definisce la sua trasposta   nel modo seguente:

 

dove   è un funzionale in  .

In altre parole, si associa un funzionale su   ad uno su   tramite composizione con  . La funzione   è lineare e   a meno dell'identificazione   e  , ossia:

 

Inoltre   e   e se   è la matrice associata a   rispetto a due basi di   e  , allora la trasposta   è la matrice associata a   rispetto alle basi duali di   e  .

Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'operazione che trasforma gli spazi vettoriali ed i loro morfismi negli spazi vettoriali duali con i morfismi trasposti è un funtore controvariante dalla categoria degli spazi vettoriali su   in sé.

Forma bilineare e spazio bidualeModifica

Per quanto detto sopra, se   ha dimensione finita gli spazi   e   sono isomorfi: l'isomorfismo tra i due spazi non è però canonico, nel senso che per definirlo è necessario fare una scelta, quella di una base per  . Scelte diverse danno isomorfismi diversi: ogni isomorfismo   da   in   definisce una forma bilineare non degenere su   nel modo seguente:

 

e analogamente ogni forma bilineare non degenere definisce un isomorfismo tra   e  .

Spazio duale topologicoModifica

Se   è uno spazio vettoriale topologico, ed è quindi dotato di una topologia appropriata (ad esempio se è uno spazio di Hilbert o di Banach), si può generalizzare la precedente nozione introducendo lo spazio duale topologico, anche detto spazio duale continuo di  . Lo spazio duale topologico è molto utilizzato nell'analisi matematica, principalmente perché su di esso si possono definire interessanti strutture topologiche.

DefinizioneModifica

Lo spazio duale topologico   dello spazio vettoriale topologico   è definito come lo spazio dei funzionali lineari e continui su  .[3] Se   ha dimensione finita, gli spazi duali algebrico   e topologico   coincidono, perché tutti i funzionali lineari sono continui. Questo non è vero in generale se   ha dimensione infinita. La definizione data si riduce a quella di spazio duale algebrico anche nel caso in cui si considera lo spazio vettoriale   equipaggiato con la topologia discreta, nella quale tutti i funzionali sono continui. Il duale continuo   di uno spazio normato (ad esempio uno spazio di Banach o di Hilbert) è uno spazio normato completo, ovvero spazio di Banach, e la norma   di un funzionale lineare continuo   su   è definita come:[3]

 

La continuità di   garantisce che   sia un numero finito.   è sempre uno spazio di Banach, anche se   non lo è. Analogamente, un prodotto scalare su   ne induce uno su   in modo tale che se il primo è di Hilbert lo sia anche il suo duale.

In uno spazio vettoriale topologico generico, tuttavia, per definire la nozione di limitatezza è necessario ricorrere, invece che a nozioni come la distanza o l'usuale norma, agli intorni dell'origine: dato uno spazio vettoriale topologico   su un campo  , un insieme   è detto limitato nella topologia   se e solo se per ogni intorno   dell'origine esiste un numero reale positivo   (dipendente da  ) tale che  , ovvero   deve essere contenuto in un opportuno multiplo di ogni intorno dell'origine. In altri termini, un insieme è limitato se è un insieme assorbente per ogni intorno del vettore zero.

La caratterizzazione con una topologia dello spazio duale continuo   di uno spazio vettoriale topologico  , dunque, avviene grazie a una classe   di sottoinsiemi limitati di   in modo che la topologia è generata da una famiglia di seminorme della forma:

 

dove   è un funzionale lineare continuo definito su  , e   spazia nella classe  . A questa topologia è associata la convergenza uniforme di funzionali definiti sugli insiemi di  :

 

Solitamente si suppone che la classe   soddisfi le seguenti condizioni:

  • Ogni punto   di   appartiene a qualche insieme  .
  • Ogni coppia di insiemi   e   è contenuta in qualche insieme  .
  • La classe   è chiusa rispetto all'operazione di moltiplicazione per scalare.

Se queste condizioni sono soddisfatte allora la corrispondente topologia su   è di Hausdorff, e gli insiemi:

 

costituiscono una sua base locale.

EsempiModifica

Sia   un numero reale maggiore di 1. Lo spazio lp è l'insieme di tutte le successioni   tali che

 

è finito. Sia   il numero per cui vale  . Allora il duale continuo di   è identificato in modo naturale con   nel modo seguente: dato un funzionale continuo   su  , l'elemento corrispondente in   è la successione  , dove   è la successione il cui n-esimo termine è 1 e tutti gli altri sono nulli. D'altra parte, dato un elemento  , il funzionale lineare continuo corrispondente   su   è definito come:

 

per ogni  . L'identificazione fa uso della disuguaglianza di Hölder.

Si nota che  : anche in questo contesto lo spazio è isomorfo in modo naturale con il suo biduale. Questo non è però sempre vero in generale: il duale continuo di   è identificato in modo naturale con lo spazio   delle successioni limitate, ma il duale continuo di   è uno spazio "più grande" di  .

Biduali e spazi riflessiviModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio riflessivo.

Il biduale topologico   è definito quindi come il duale topologico di  . Analogamente a quanto visto sopra, esiste una mappa canonica iniettiva, detta mappa di James:

 

A differenza di quanto visto sopra, questa mappa può essere suriettiva anche se   ha dimensione infinita: in questo caso lo spazio   si dice riflessivo[4]. In particolare, uno spazio localmente convesso è riflessivo se coincide con il duale continuo del suo duale continuo sia come spazio topologico che come spazio vettoriale.

Ogni spazio di Hilbert è riflessivo[5]. Anche gli spazi di Banach Lp per   sono riflessivi[6], ma   e   non lo sono.

Spazio predualeModifica

Se la chiusura di uno spazio   è lo spazio duale di un altro spazio, allora   è detto spazio preduale o semplicemente preduale.[7]

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag 167
  2. ^ S. Lang, Pag. 169
  3. ^ a b H. Brezis, Pag. 4
  4. ^ H. Brezis, Pag. 66
  5. ^ H. Brezis, Pag. 127
  6. ^ H. Brezis, Pag. 92
  7. ^ Treccani - Dizionario delle Scienze Fisiche (2012), su treccani.it. URL consultato il 26 luglio 2011.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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