Spazio iperbolico

geometria non euclidea

In matematica, lo spazio iperbolico è uno spazio introdotto indipendentemente dai matematici Bolyai e Lobachevsky nel XIX secolo, su cui è definita una particolare geometria non euclidea, detta geometria iperbolica. Si tratta dell'esempio più importante di geometria non euclidea, assieme alla geometria ellittica.

Una tassellazione del piano iperbolico tramite triangoli.

Lo spazio iperbolico ha dimensione arbitraria ed è indicato con . Può essere realizzato tramite vari modelli equivalenti, quali ad esempio il disco, il semispazio di Poincaré o il modello dell'iperboloide. Come nella geometria euclidea, gli spazi più studiati sono il piano iperbolico e lo spazio iperbolico tridimensionale .

I modelliModifica

Lo spazio iperbolico   è un particolare spazio, su cui è definita una geometria che soddisfa i primi 4 assiomi di Euclide ma non il quinto. La geometria presente in questo spazio è detta iperbolica.

Il numero   indica la dimensione dello spazio iperbolico. In ogni dimensione  , lo spazio iperbolico può essere realizzato da differenti modelli, tutti equivalenti.

Modello del discoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Disco di Poincaré.
 
Tre rette incidenti nel modello del disco. Una retta è un arco di circonferenza (o segmento) ortogonale al bordo.

Nel modello del disco di Poincaré, lo spazio iperbolico è la palla  -dimensionale

 

Per  , questo è il cerchio di raggio unitario centrato nell'origine del piano cartesiano, senza la circonferenza di bordo.

Una retta nel disco di Poincaré è un arco di circonferenza, oppure un segmento, che interseca il bordo   della palla   ortogonalmente in due punti. Due "rette" che si intersecano in un punto formano un angolo, e la sua ampiezza è pari all'angolo formato dalle tangenti.

Modello del semispazioModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Semispazio di Poincaré.

Nel modello del semispazio di Poincaré, lo spazio iperbolico è il semispazio

 

Come nel modello del disco, le rette iperboliche sono gli archi di circonferenza e le rette ortogonali al bordo. In questo modello, il bordo è l'iperpiano orizzontale  .

Modello di KleinModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Modello di Klein.
 
Il V postulato della geometria iperbolica nel modello di Klein.

Nel modello di Klein lo spazio iperbolico è (come nel modello del disco) l'insieme dei punti interni ad un cerchio  . Le rette sono però segmenti veri e propri: la maggiore semplicità nel descrivere le rette viene però pagata nella descrizione degli angoli, che sono distorti rispetto agli angoli euclidei: l'angolo formato da due rette non è quello euclideo, ma dipende da questo tramite una formula opportuna.

La distanza fra due punti   e   interni al disco è

 

dove   è la distanza euclidea fra i punti   e  . I punti   e   sono le intersezioni fra la retta euclidea passante per   e   e il bordo  . Il logaritmo è il logaritmo naturale. L'argomento del logaritmo è il birapporto dei quattro punti allineati.

Modello dell'iperboloideModifica

Nel modello dell'iperboloide, lo spazio iperbolico è l'iperboloide

 

In questo modello, una retta è data dall'intersezione di   con un piano passante per l'origine di  . In questo contesto, è utile definire su   una struttura di spaziotempo di Minkowski, cioè il prodotto scalare con segnatura  :

 

L'insieme degli   aventi   ha due componenti connesse, una delle quali (quella superiore, avente  ) è l'iperboloide  . La distanza fra due punti   e   su   è definita come

 

Definizione univocaModifica

La definizione più rigorosa di spazio iperbolico   è la seguente:   è l'unica varietà iperbolica completa e semplicemente connessa di dimensione  . Una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale costantemente  .

Per "unica" si intende "a meno di isometrie": tutti i modelli elencati sopra sono in effetti collegati tramite isometrie, quindi definiscono concretamente la stessa varietà. Il fatto che esista un solo spazio con queste proprietà è un teorema importante in geometria differenziale.

SottospaziModifica

GeodeticheModifica

Una geodetica è l'analogo della retta nel contesto euclideo. Nel modello del disco o del semispazio, le geodetiche sono archi di circonferenza o retta ortogonali al bordo (del disco o del semispazio). Le geodetiche hanno proprietà simili alle rette nella geometria euclidea:

  1. Per ogni coppia di punti distinti passa una sola geodetica,
  2. Per ogni punto e per ogni vettore tangente nel punto, esiste un'unica geodetica passante per il punto e tangente a questo vettore,
  3. La geodetica che collega due punti   e   è la curva con lunghezza minore fra tutte le curve che collegano i due punti. Questa lunghezza è proprio pari alla distanza  .

Le ultime due proprietà sono valide, almeno localmente, in ogni varietà riemanniana.

SottospaziModifica

Come nello spazio euclideo, in quello iperbolico sono definiti, oltre alle geodetiche, spazi di dimensione superiore, come ad esempio i piani.

Un sottospazio di   è un sottoinsieme   tale che per ogni coppia   e   di punti in   l'intera geodetica passante per   e   è contenuta in  .

Mentre le geodetiche esistono (almeno localmente) in ogni varietà riemanniana, i sottospazi esistono solo in varietà molto particolari, quali appunto lo spazio euclideo e quello iperbolico. Come nel caso euclideo, un sottospazio di   risulta essere isometrico a  , per qualche  . Il numero   è la dimensione del sottospazio: per   si ottiene una geodetica, per   un piano, etc.

L'intersezione di due sottospazi è sempre un sottospazio.

ParallelismoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Parallelismo in geometria iperbolica.

Lo spazio iperbolico si differenzia però nettamente da quello euclideo per la nozione di parallelismo. Dati due sottospazi   e   disgiunti, esistono due nozioni di parallelismo ben distinte:

  1. Se esiste un   tale che   per ogni   in   e ogni   in  , allora i due spazi sono ultraparalleli.
  2. Se non esiste un tale  , i due spazi sono asintoticamente paralleli.

Nel secondo caso, esistono successioni di punti   e   in   e   le cui distanze   tendono a zero. Questo fenomeno non si verifica negli spazi euclidei.

IsometrieModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Isometria dello spazio iperbolico.

Una isometria di   è un movimento rigido dello spazio, cioè una funzione che sposta tutti i punti dello spazio mantenendo le distanze fra questi. Le isometrie dello spazio iperbolico si comportano per molti aspetti in modo simile a quelle dello spazio euclideo. Possono inoltre essere studiate efficacemente tramite la sfera all'infinito.

Spazio omogeneo e isotropoModifica

Nello spazio euclideo  , esempi di isometrie sono le traslazioni e le rotazioni. Tramite queste isometrie è possibile spostare punti e rette a piacimento: la stessa proprietà vale anche nello spazio iperbolico: questo è infatti omogeneo e isotropo: i punti e le rette sono tutti indistinguibili. Più precisamente, per ogni coppia di punti   e  , e per ogni coppia di rette   e   passanti rispettivamente per   e  , esiste una isometria dello spazio che manda   in   e   in  .

Sfera all'infinitoModifica

Nel modello del disco di Poincaré  , la sfera all'infinito dello spazio iperbolico   è il bordo   del disco. Come spazio topologico,   è omeomorfo al disco chiuso

 

Si tratta quindi di uno spazio compatto. Il procedimento di compattificazione tramite aggiunta di "punti all'infinito" è simile al passaggio dallo spazio euclideo a quello proiettivo.

Tipi di isometrieModifica

Una isometria dello spazio iperbolico

 

si estende al bordo. Esiste cioè un unico omeomorfismo

 

che coincide con   all'interno del disco, cioè su  .

Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che ogni omeomorfismo del disco chiuso   in sé ha un punto fisso. Tale teorema, che non è valido sulla palla aperta  , garantisce quindi l'esistenza di un punto fisso per la funzione estesa   (ma non per  ).

Una isometria   che preserva l'orientazione dello spazio iperbolico è detta:

  • ellittica se ha un punto fisso in  ,
  • parabolica se non ha punti fissi in   e ne ha uno al bordo  ,
  • iperbolica se non ha punti fissi in   e ne ha due al bordo  .

Non vi sono altre possibilità oltre a quelle elencate.

Varietà iperboliche completeModifica

Ogni varietà iperbolica completa è ottenibile come quoziente dello spazio iperbolico per un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. In particolare, una tale isometria non deve avere punti fissi in  .

Se la varietà iperbolica è orientabile, il gruppo è formato da isometrie che preservano l'orientazione. Tali isometrie sono quindi iperboliche o paraboliche (le ellittiche sono escluse perché hanno punti fissi in  ). Se la varietà è compatta, tutte le isometrie sono iperboliche.

Piano iperbolicoModifica

Geometria iperbolicaModifica

 
Piano iperbolico rappresentato tramite il disco di Poincaré.
 Lo stesso argomento in dettaglio: Geometria iperbolica.

Il piano iperbolico è lo spazio iperbolico   bidimensionale. È lo spazio iperbolico più studiato, ed il primo ad essere stato introdotto storicamente, come esempio di geometria iperbolica e quindi non-euclidea. Sul piano iperbolico sono infatti validi i primi quattro assiomi di Euclide:

  1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
  2. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.
  3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
  4. Tutti gli angoli retti sono uguali.

ma non è vero il quinto:

Data una qualsiasi retta   ed un punto   non appartenente ad essa, è possibile tracciare per   una ed una sola retta parallela alla retta   data.

Quest'ultimo assioma va infatti sostituito con il seguente:

Data una qualsiasi retta   ed un punto   non appartenente ad essa, è possibile tracciare per   infinite rette parallele alla retta   data.

Spazio iperbolico tridimensionaleModifica

Lo spazio iperbolico tridimensionale   è stato oggetto di intensi studi da parte dei matematici soprattutto a partire dalla fine degli anni settanta, cioè più di un secolo dopo l'introduzione del piano iperbolico. L'improvviso interesse per lo spazio iperbolico è dovuto agli studi di William Thurston, che hanno mostrato inaspettatamente l'enorme importanza della geometria iperbolica nello studio delle varietà differenziabili di dimensione 3.

BibliografiaModifica

  • (EN) Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Springer, 1992.
  • (EN) John Milnor, Hyperbolic geometry: the first 150 years, in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 6, n. 1, 1982.

Voci correlateModifica

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