Spazio localmente convesso

In matematica, uno spazio localmente convesso è uno spazio vettoriale topologico che generalizza il concetto di spazio normato.

La topologia localmente convessa su uno spazio vettoriale topologico (reale o complesso) è una topologia formata da una base di insiemi convessi tale per cui le operazioni lineari sullo spazio sono continue. Non si tratta necessariamente di una topologia di Hausdorff.

Da un punto di vista analitico uno spazio localmente convesso può essere caratterizzato considerando uno spazio vettoriale topologico nel quale è definita una famiglia di seminorme. Lo spazio viene detto localmente convesso se:

La topologia naturale che caratterizza uno spazio localmente convesso è dunque la topologia più debole tale per cui le seminorme della famiglia sono funzioni continue, e continua è l'operazione di addizione.

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale sul un campo  , che può essere   o  . Si può definire la nozione di spazio localmente convesso sia utilizzando insiemi convessi, sia mediate una famiglia di seminorme.

Insiemi convessiModifica

Un sottoinsieme   di   può essere:

  • Un insieme convesso se   appartiene a   per tutti gli   e per  . In altri termini,   contiene tutti i segmenti che congiungono i suoi punti.
  • Un insieme circolare se   per tutti gli   quando  . Se  ,   è uguale alla sua riflessione rispetto all'origine. Se  , allora per tutti gli   l'insieme   contiene la circonferenza centrata nell'origine e passante per   nel sottospazio mono-dimensionale (complesso) generato da  .
  • Un cono se   per tutti gli   quando  .
  • Un insieme bilanciato se   per tutti gli   quando  . Se  , allora per tutti gli   l'insieme   contiene il disco centrato nell'origine e la cui frontiera comprende   nel sottospazio mono-dimensionale (complesso) generato da  . In altri termini, si tratta di un cono circolare. Se   e  , allora   contiene il segmento congiungente   con  .
  • Un insieme assorbente se   è l'unione degli insiemi   per  . In modo equivalente, per ogni   si ha che   per qualche  .
  • Un insieme assolutamente convesso se è bilanciato e convesso.

Uno spazio vettoriale topologico localmente convesso è uno spazio vettoriale topologico che ammette una base di intorni dell'origine che sono di insiemi assorbenti assolutamente convessi.

Dal momento che la traslazione è una mappa continua (per definizione di spazio vettoriale topologico), tutte le traslazioni sono omeomorfismi e dunque ogni base locale può essere traslata nell'intorno di qualsiasi altro vettore diverso dall'origine.

SeminormeModifica

Uno spazio localmente convesso è uno spazio vettoriale   con una famiglia di seminorme   su  . Lo spazio possiede una topologia naturale, la topologia iniziale generata dalla famiglia (numerabile) di seminorme. Si tratta cioè della topologia più grezza tale per cui tutte le funzioni:

 

sono continue. Una base di intorni per   si ottiene definendo per ogni sottoinsieme finito   di   e per ogni  :

 

Si nota che:

 

Relativamente alla definizione "insiemistica", lo spazio vettoriale topologico risultante è localmente convesso in quanto ogni   è assolutamente convesso e assorbente.

Equivalenza delle definizioniModifica

Per un insieme assorbente   tale che se   allora   per  , si definisce il funzionale di Minkowski come:

 

Da tale definizione segue che   è una seminorma se   è bilanciato e convesso. Viceversa, data una famiglia di seminorme, gli insiemi:

 

formano una base di insiemi assorbenti e bilanciati.

EsempiModifica

  • Più in generale, ogni spazio di Fréchet è uno spazio localmente convesso. Uno spazio di Fréchet può infatti essere definito come uno spazio localmente convesso equipaggiato con una famiglia separata di seminorme.
 
è uno spazio di Fréchet (non normabile) in quanto la famiglia di seminorme è completa e separabile.
  • Dato uno spazio vettoriale   ed una collezione   di funzionali lineari definiti su di esso,   può essere reso uno spazio vettoriale topologico localmente convesso (non normabile) munendolo della topologia più debole tale per cui i funzionali della famiglia sono funzioni continue. In particolare quando   è uno spazio di Banach reale o complesso e   è il suo duale questo induce la topologia debole che rende infatti lo spazio localmente convesso.
  • Sullo spazio delle funzioni lisce   tali che  , dove   e   sono multi-indici, si può definire la famiglia di seminorme data da:
 
che è separata e numerabile. Dato che lo spazio è completo, si tratta di uno spazio metrizzabile che è uno spazio di Fréchet, ed è noto come spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida. Il suo spazio duale è lo spazio delle distribuzioni temperate.
  • Dato uno spazio topologico  , lo spazio   delle funzioni continue (non necessariamente limitate) su   può essere caratterizzato con la topologia della convergenza uniforme su insiemi compatti. Questa topologia è data dalla famiglia di seminorme:
 
dove   spazia sull'insieme diretto di tutti i sottoinsiemi compatti di  . Se   è localmente compatto (ad esempio, può essere un aperto di  ) allora nel caso di funzioni reali si applica il teorema di approssimazione di Weierstrass: ogni sottoalgebra di   che separa i punti e contiene la funzione costante è un insieme denso.

Operatori lineari continuiModifica

Utilizzando le seminorme è possibile definire una condizione necessaria e sufficiente per la continuità delle mappe definite tra spazi localmente convessi, gli operatori lineari continui.

Dati due spazi localmente convessi   e   in cui sono definite rispettivamente due famiglie di seminorme   e  , una mappa lineare   è continua se a soltanto se per ogni   esistono   ed esiste   tali che per tutti i vettori   si verifica:

 

In altri termini, ogni seminorma dell'immagine della funzione è limitata superiormente da una qualche somma finita di seminorme nel dominio della funzione.

BibliografiaModifica

  • (EN) Conway John B., A course in functional analysis, 2ª ed., Springer, 1997, ISBN 0-387-97245-5.
  • (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, gennaio 1991, ISBN 0-07-054236-8.
  • (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Topological vector spaces , Addison-Wesley (1977) (Translated from French)
  • (EN) H.H. Schaefer, Topological vector spaces , Macmillan (1966)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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