Spazio paracompatto

In topologia, una branca della matematica, uno spazio paracompatto è una leggera generalizzazione del concetto di spazio compatto, cioè di uno spazio i cui punti sono "vicini" tra loro.

DefinizioneModifica

Uno spazio topologico   è paracompatto se ogni ricoprimento aperto   di   ammette un raffinamento localmente finito, cioè se esiste un ricoprimento aperto   di   tale che:

  • ogni   è contenuto in un elemento di  ;
  • ogni   ammette un intorno   che interseca solo un numero finito di elementi di  .

In alcuni casi viene aggiunta anche la richiesta che   sia uno spazio di Hausdorff.

EsempiModifica

ProprietàModifica

  • Ogni spazio paracompatto di Hausdorff è normale (teorema di Dieudonné).
  • Ogni sottospazio chiuso di un paracompatto è paracompatto.
  • Il prodotto topologico di uno spazio paracompatto e di uno spazio compatto è paracompatto, ma non lo è necessariamente il prodotto di due paracompatti: un famoso controesempio è dato dal prodotto della retta di Sorgenfrey con sé stessa (il piano di Sorgenfrey).
  • L'essere uno spazio paracompatto è una condizione necessaria per l'esistenza delle partizioni dell'unità.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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